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Führt man nämlich hinter einander eine Drehung um a um den Winkel a 
und eine Drehung um b um den Winkel ß aus, so können beide zusammen 
nach Früherem durch eine einzige Drehung ersetzt werden. Da aber bei 
der ersten Drehung C nach C t und bei der zweiten C 1 wieder nach C 
gelangt, wenn der geeignete Drehsinn gewählt wird, so lässt die com- 
binirte Bewegung C ungeändert, sie lässt sich also durch eine Drehung 
um die Axe OC ersetzen. Ferner bleibt A bei der ersten Drehung un¬ 
geändert und gelangt durch die zweite in die Lage wobei /\ B C 1 A 
A B CA 1 ist. Durch die combinirte Bewegung gelangt also A nach A v 
was auch eine Drehung um die Axe OC um den <3C Y = 2 ^ A CB 
bewirkt. Demnach ist ^ y ein zur Axe OC gehöriger Drehwinkel; dass 
es wirklich der kleinste Drehwinkel ist, erkennt man leicht indirect. 
Denn gäbe es zur Axe OC einen Drehwinkel -^C £, der kleiner als y 
wäre, so gäbe es auf dem Kreisbogen AB einen Punkt D von solcher 
Lage, dass das sphärische Dreieck ACD bei A und C Winkel von der 
Grösse ~ und zeigte. Demnach könnte ganz in der gleichen Weise wie 
vorher geschlossen werden, dass auch OB eine Symmetrieaxe wäre, das 
widerspricht jedoch unserer Annahme. Man kann hieraus weiter schliessen, 
dass jedes Dreieck der Kugelfläche, dessen Ecken auf drei Symmetrieaxen 
liegen, solche Winkel besitzt, die ganzzahlige Vielfache von und 
d d d 
sind. Das lässt nun ferner erkennen, dass durch jede Zf-zählige Sym¬ 
metrieaxe 2 Je Ebenen gehen, in denen alle übrigen Symmetrieaxen ge¬ 
legen sind. 
Das sphärische Dreieck ABC hat die Eigenschaft, dass es — abgesehen 
von den Axen durch seine Ecken — von keinen anderen Symmetrieaxen 
getroffen wird; wir wollen es als Elementardreieck bezeichnen. Die 
Ecken des Elementardreiecks liegen auf drei Symmetrieaxen 
und seine Winkel sind halb so gross, als die zu den Axen ge¬ 
hörigen kleinsten Drehwinkel. Spiegelt man das Dreieck AB C der 
Reihe nach an seinen drei Seiten, so erhält man drei weitere Elementar¬ 
dreiecke (z. B. AB C ± und BCAß)\ spiegelt man diese wiederum an ihren 
Seiten und fährt so fort, so erhält man eine Eintheilung der Kugel¬ 
fläche in lauter Elementardreiecke. Die halbe Anzahl aller Elementar¬ 
dreiecke sind zu /\ ABC congruent, die anderen sind zu AB C ge¬ 
spiegelt symmetrisch. Da der kleinste Drehwinkel, der zu einer Symmetrie¬ 
axe gehört, < ist, sind alle Winkel eines Elementardreiecks < 
d 
Die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks ist > tt, es gilt also die 
Gleichung:-^ -f- 4- -f- ir 71 - a ber a -> Y die kleinsten zu den 
A A A . . 271 271 2 71 
Axen <&, &, c gehörigen Drehwinkel sind, so ist a == , ß = — r , y = —, wo- 
bei Je, l , m ganze Zahlen sind. Demnach müssen die Zahlen Zf, Z, m die 
Ungleichung: i -j- -i- -f- — 1 erfüllen; das liefert aber die folgenden 
rC 1 VYl 
Möglichkeiten: 
1. Je = 2, 1 = 2. m beliebig, 
2. Je >= 2, l — 3, m = 3, 
3. Zf = 2, l = 3, in = 4, 
4. Je = 2, l = 3, m = 5. 
