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Der letzte Fall fallt fort, da es bei Krystallen 5-zählige Axen nicht 
giebt; im ersten Fall kann m nur die Werthe 2, 3, 4 oder 6 annehmen, 
da bei Krystallen weder 5-zählige noch solche Axen auftreten, die mehr 
als sechszählig sind, wie schon oben bemerkt. 
und 
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k ’ l m 
Oberfläche der 
Der Inhalt eines sphärischen Dreiecks mit den Winkeln 
ist bekanntlich gleich —j- ~— f- -i- — l) tt r 2 , die 
Kugel aber gleich 4 ttt 2 , wo r ihren Radius bedeutet. Die ganze Kugel¬ 
oberfläche zerfällt demnach in 4 : (~ 4- -i- + - 1 - — 1) Elementar- 
V k 1 l 1 m / 
dreiecke. Für k = 2, l = 2, m — 2 oder 3 oder 4 oder 6 erhalten wir 
somit 8 oder 12 oder 16 oder 24 Elementar dreiecke; für k = 2, l — 3, 
m — 3 ergeben sich deren 24 und für k — 2, 1 = 3, m = 4 ergeben sich 
deren 48. 
Nach Obigem bilden die Elementar dreiecke zwei Gruppen. Aus dem 
ursprünglichen Dreieck ABC gehen durch Spiegelung an je einer Seite 
drei neue hervor, durch Spiegelung an den Seiten der neuen Dreiecke er¬ 
geben sich abermals weitere Dreiecke u. s. f. Je zwei aufeinander folgende 
derartige Spiegelungen können durch eine Drehung um eine der vorhan¬ 
denen Symmetrieaxen ersetzt werden; so wird aus /\ AB durch Spie¬ 
gelung an AB das /\ ABC und aus diesem durch Spiegelung an B C das 
A B CA 1 in Fig. I. Jedes Elementardreieck, das aus /\ ABC durch eine 
gerade Anzahl von Spiegelungen hergeleitet ist, kann durch Drehung 
um eine Symmetrieaxe in die Lage ABC gebracht werden; alle diese 
Dreiecke sollen zusammen mit dem /\ ABC als die geraden Dreiecke 
bezeichnet werden. Analog verstehen wir unter den ungeraden Ele¬ 
mentardreiecken alle diejenigen, die aus /\ ABC durch eine ungerade 
Anzahl von Spiegelungen hervorgehen. 
Bei allen Drehungen und Spiegeldrehungen, die dem Symmetrie- 
Charakter eines Krystalls entsprechen, vertauschen sich die Symmetrie¬ 
axen untereinander, d. h. diese Drehungen und Spiegeldrehungen müssen 
die Elementardreiecke untereinander vertauschen. Enthält der Symmetrie- 
Charakter nur Drehungen, so sind alle geraden Elementardreiecke unter 
sich gl eichwert hig und ebenso alle ungeraden unter sich. 
Enthält der Symmetrie-Charakter auch Spiegeldrehungen und sind 
alle drei Winkel eines Elementardreiecks verschieden, so müssen diese 
jedes gerade Dreieck in ein ungerades überführen und umgekehrt. Da 
aber durch Drehung um eine Symmetrieaxe jedes ungerade Dreieck in die 
Lage eines jeden anderen ungeraden gebracht werden kann, so muss der 
Symmetrie-Charakter in diesem Falle alle reinen Spiegelungen enthalten, 
die je zwei aneinander liegende Elementardreiecke mit einander vertauschen, 
d. h. alle Eibenen durch die Seiten der Elementardreiecke sind in diesem 
Falle Symmetrie-Ebenen. Alle Eiernentardreiecke sind hier nnter sich 
gleichwerthig. 
Sind zwei Winkel eines Elementardreiecks gleich und enthält der 
Symmetrie-Charakter auch Spiegeldrehungen, so sind noch zwei Fälle 
möglich. Der eine Fall ist mit dem vorausgehenden völlig gleicher Art; 
bei dem anderen verwandeln die Spiegeldrehungen die geraden Dreiecke 
wieder in gerade Dreiecke. Es giebt also in diesem Falle sowohl eine 
Spiegeldrehung als auch eine einfache Drehung, die ein gerades Dreieck 
in das nämliche andere gerade Dreieck überführen. Die Combination 
