80 
dieser beiden Operationen ist also gleichbedeutend mit einer einzigen 
Operation, welche das letztere Dreieck in sich selbst überführt, das ist 
aber eine einfache Spiegelung an der Höhenlinie des gleichschenkeligen 
Dreiecks. Hier sind also alle Ebenen durch die Höhen aus den Spitzen 
der gleichschenkeligen Elementardreiecke Symmetrie-Ebenen. Die geraden 
Elementardreiecke sind unter sich gleichwertig, jedes von ihnen enthält 
zwei gleichwertige Punkte; analoges gilt für die ungeraden Dreiecke. 
Fassen wir die gewonnenen Resultate kurz zusammen, so können wir 
sagen: Besitzt eine Krystallklasse mehr als eine Symmetrieaxe, 
so treffen dieselben die Kugel in Punkten, deren Verbindungs¬ 
linien die ganze Kugelfläche in lauter congruente uud sym¬ 
metrische Dreiecke zerlegen. Sind keine anderen Symmetrie- 
Elemente vorhanden, so ist die Zahl der gleichwertigen Punkte 
gleich der halben Zahl der Dreiecke und jede der oben unter 
1, 2 und 3 angeführten Zahlen-Combinationen liefert eine 
Krystallklasse, Zu den Symmetrieaxen können als Symmetrie- 
Elemente die sämmtlichen Ebenen durch je zwei Axen treten; 
in ihnen liegen die Seiten der genannten Dreiecke. In diesem 
Fall ist die Zahl der Dreiecke und die Zahl der gleichwertigen 
Punkte einander gleich; wieder liefert jede der oben unter 1, 
2 und 3 gegebenen Zahlen-Combinationen eine Krystallklasse. 
In den oben unter 1 und 2 aufgeführten Fällen sind die sphä¬ 
rischen Dreiecke, deren Ecken auf den Symmetrieaxen liegen, 
gleichschenkelig. Hier können die Ebenen durch die Höhen 
dieser Dreiecke zu Symmetrie-Ebenen werden. Die Zahl der 
gl ei c h w e r t h i g e n Punkte stimmt auch hier mit der Zahl der 
Dreiecke überein, aber sie liegen paarweise in diesen. Nur 
die Zahlen-Combinationen k = 2, l =jp|2, m = .2; k — 2, l = 2, m = 3 
und k — 2, 1 = 3, m = 3 liefern derartige Krystallklassen. Aus 
dem Folgenden geht nämlich hervor, dass in diesem letzten Falle für 
k = 2, l = 2, m = m die m-zählige Symmetrieaxe erster Art zugleich 
2 m-zählige Axe zweiter Art wird. Da nun bei Krystallen Symmetrieaxen, 
die mehr als sechszählig sind, nicht existiren, so kommen die YVerthe m - 4 
und m = 6 hier nicht in Betracht. 
Aus der Zahl der bei den einzelnen Krystallklassen auftauchenden 
Kugeldreiecke ergiebt sich auch unmittelbar die Zahl der Symmetrieaxen. 
Um die beiden Endpunkte einer &-zähligen Axe liegen je 2 k solcher 
Dreiecke, die Anzahl der &-zähligen Axen ist also gleich der Anzahl der 
Dreiecke dividirt durch 4 k. 
Wir wollen wieder die frühere Bezeichnung anwenden; insbesondere 
wollen wir mit a solche Symmetrie-Ebenen bezeichnen, welche die Seiten 
der Elementardreiecke enthalten, und mit t diejenigen, welche die gleich* 
schenkeligen Elementardreiecke halbiren. Symmetrie-Elemente, die infolge 
der vorhandenen Symmetrie-Eigenschaften ineinander übergeführt werden 
können, fassen wir unter ein Zeichen zusammen und setzen die bezügliche 
Zahl davor. 
Krystallklassen vom Doppelpyramidentypus (k = l — 2, m). 
18. I) 2 , Axen a 2 , a 2 ', a 2 ", N =4. 
19. D/, Axen a 2 , a 2 ', a 2 ", Ebenen er, er', er", Centrum C, N = 8. 
