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Lorenz Zmurko. 
Die Gleichung des zweiten Grades 
x % ~t- 2 Px -+- Q = 0 
...(43) 
bezieht ihre Auflösung aus (40) für m — 2 im Folgenden: 
—.(- 0 - 
(—l)— 1 / (G 4 -//'- ,-y 
oder 
...(44) 
|.(— I )- 1 |/>— 1 / Ö — ö ] 2 ^<0 
■ 2 l fQ 
P+(—l)-i^P*_ Q, 
und zwar bedingungslos; weil in der Gleichung (43) kein einziger mit H bezeichneter Coefficient vorkommt. 
Eine Gleichung des dritten Grades benöthigt zu ihrer Darstellung eines einzigen mit H bezeichneten 
Coefficienten, und muss demgemäss eine Bedingung erfüllen; welche sich nach (41) für g' = 3 in der Relation 
H 3 — PQ ...(45) 
kundgibt, und besagt, dass die Gleichung dritten Grades nur in der speziellen Form: 
as 3 —i— 3—t— 3 Qx-+-PQ=0 ...(46) 
fähig sei, die periodische Auflösung aus (42) zu beziehen. 
Eine vorgelegte wie immer beschaffene Gleichung 
y 3 -+-3 ty* -{-3py -+- 2q = () 
...(47) 
kann durch Transformation mittelst y = x « für einen passenden Werth von « auf die Form (46) gebracht 
werden. Man erhält nämlich: 
-3(«-+-<) x z -h3 (a z -+- 2 ta -hp) x-h (cc 3 —t— 3ta 2 -h 3p a-t-2g)—0 
und hieraus 
oder 
■t = P, 
-2ta -f -p — Q, ot 3 -h3ta i -+-3pa-\-2p — PQ 
...(48) 
P Q — f)(a z -i-2 1 a -+-p) = a 3 -f- 3i a z n-3p a -+- 2 q 
a(2P — 2p) — {2g — tp) = 0 
2(7 — tp 
a== 2? —2 p 
...(49) 
Wenn t l —p ^ Ö, so könnte man für diesen Werth von a P und Q berechnen, und dann erhält man nach 
(42) die Werthe von x und somit auch die Wurzeln der Gleichung (47). 
Ist jedoch t l =p, so erscheint die Gleichung (47) in folgender Form: 
(y -h t) 3 — (t 3 — 2 q) = 0 
und hieraus ist 
y 
,-+-i:=/P—2 q. ß *~ 1 , ß = es und s = l, 2, 3. 
.(50) 
Für die Gleichung 
y 3 -hSpy-h2q = 0, 
welche nur ein specieller Fall von (47) ist für t== 0, erhalten wir aus (49) und (48) 
P=-^, Q- 
.*,y = X -9 P=-L }Q= ?-Ztl 
p p p 7 p z 
