Beitrag zur Theorie der Auflösung von Gleichungen etc. 
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und hieraus nach (42) 
X = x 8 
1 /]>"' ■+■ y* ß s 1 j/y -+- \[p s H- 7 — 1/ — y H- 1 fp z H- 7 
P 
ß‘~ l \[g~¥-\fp 3 -*-g % -+-[ f —y-t- jp :t ~hf 
Multiplicirt man hier Zähler und Nenner mit dem Ausdrucke 
ß = <2 3 
...(52) 
ß 2 ( *~ 1) (y -+- 1 / 7 -7 7) :i — ß S - 1 [y -+- l/p 8 -i- y 4 ] 3 
■ \jp A -+- q 
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-q~h]fj) S 
-f- </ 
so erhält man nach vollbrachter Abkürzung einen in Bezug auf den Nenner rationalen Ausdruck: 
3 ^___ 3 
x = x, = l- -+-'3 2!s —*) [/"—y—l/p 3 -f-y z -|-|3 s—1 1/—y-+-l/'_p 3 -(-y 2 
und demnach 
3 .,_ .... 3 _ 
y.=*. - = jS 31 * '7 7 - 1/77?77 s -7- 7 1-7777 
p 
oder 
3 _ ' . 3 
y»=7~ 1 K — y-t- ~f r ßT~- K —•?—^777? 
...(53) 
wie wir dies bereits sub (31) gefunden haben. 
Für m>3 kommen in der Gleichung (38) eben so viele mit H bezeichnte Coefficienten in Verwendung, 
als m 3 Einheiten zählt, und dies ist auch die Anzahl der zu erfüllenden Bedingungen, sobald eine speeielle 
über den dritten Grad hinausreichende Gleichung mit Hilfe der periodischen Formel zur Lösung gebracht 
werden soll. 
Sonst sind die aus den Gleichungscoefficienten zusammengesetzten periodischen Wurzelformeln immer 
fähig, die zugehörigen Gleichungen zu erfüllen, mögen die Coefficienten selbst reell oder complex sich 
gestalten, und auch dann, wenn die aus den Bedingungen in (16), (23'), (39') und (41') stammenden 
Werthe der goniometrischen Functionen cos my, tang im goniometrischen Sinne einen Sinn haben 
oder nicht. 
Die bei der Aufstellung der eben behandelten Auflösungsmethode herrschende Grundidee bestellt eigent¬ 
lich in der Annahme der typischen Formen: x = x-h2r cos y j x — a.-+-r tang y, zu dem Zwecke, um durch 
zweckmässige Wahl der drei in denselben vorfindigen Argumente a, r, y, diese von uns octroirten Ausdrücke 
als Wurzeln den Gleichungen aufzudringen. Da aber Gleichungen, welche über den dritten Grad hinaus¬ 
reichen ihre Wurzeln durch ihre Coefficienten, also jedenfalls durch eine die Zahl 3 Überschreitende Anzahl von 
Argumenten definiren, so ist es natürlich, dass solche Gleichungen nur unter gewissen speziellen Bedingun¬ 
gen sich die obigen blos aus drei Argumenten a, r, o zusammengesetzten Formen als Wurzel aufnöthigen 
lassen. Um nun im Geschäfte der Auflösung von den dritten Grad überschreitenden Gleichungen weiter vor¬ 
zudringen, müssen wir den hier befolgten synthetischeaWeg verlassen, und in analitischem Sinne mehr in das 
Wesen des Zusammenhanges zwischen den Gleichungen und ihren Wurzeln einzugehen uns bemühen, um 
durch stufenweise Fortbildung der hier einschlägigen Operationen zu einer so weit als möglich wirksamen 
Auflösungsmethode zu gelangen. 
§. 2 . 
Jede Gleichung können wir als eine Gleichung vom geraden Grade arischen. Eine Gleichung vom unge¬ 
raden Grade können wir mit der ersten Potenz der Unbekannten multipliciren, um ihren höchsten Exponenten 
in eine gerade Zahl zu verwandeln; hiedurch gesellt sich zu dem Complex der dieser Gleichung ungehörigen 
Wurzeln noch die Nulle als Wurzel au. 
