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Beitrag zur Theorie der Auflösung von Gleichungen etc. 
Denkt man sich in (9) die angedeutete Erhebung zu Quadraten wirklich ausgeführt und das so ent¬ 
standene nach x dem 2raten Grade angehörige Polynom Glied für Glied mit dem Polynom f(x): A 2h verglichen, 
so erhält man 2 n Gleichungen, welche durch die Coefiicienten m, p, /, m', p', h', V erfüllt 
werden müssen. 
Von den 2ra Bedingungsgleichungen wird eine wegfallen, sobald man den Coefiicienten m gleich 
in der Anlage der Rechnung der Relation m— ^ (A 2n _i: A 2m ) entsprechend wählt. Die übrigbleiben- 
den (2ra—1) Bedingungsgleichungen können dann zur Bestimmung der 2 n — 1 Coelticienten p } y,...A, 
l, m' ; p'j Ä', V verwendet werden. Wenn man aus diesen Gleichungen nach Elimination der Grös-...(11) 
sen p, q,...h, m', p', h', l' die blos die Unbekannte l enthaltende Endgleichung (11) sich gebildet 
vorstellt, so muss diese Gleichung wenigstens dem « 2 »ten Grade in Bezug auf l angehören, weil eben 
diese Gleichung bestimmt ist, ein jedes von den Partialproductenpaaren I\, 7'i; l\, 7" g ;...P, P' 
mit einem entsprechenden bestimmten Werthe von l zu versorgen. Dasselbe lässt sich von jeder anderen 
nach einem anderen unbekannten Coefiicienten geordneten Eliminationsgleichung behaupten. 
Setzt man: 
x n -\- - iifr 1 x n ~ l -]-px’ 1 —'*... -\-hx-\-t= W n 
2 Ä 2n ...(! 2 ) 
so erhält man 
m' x n ~ i -i-p'x n '~' i -h -... -hh'x-hl’= 1U„_i, 
f(x ): A 2n = Wl- W,U = ( W n -\- W n _ t ) ( W n - W „_,) = PI" = 0 
und hieraus 
P = W n -hW n ^ 1 =0, ...(13) 
P' — W n — W n _ i =0, ...(14) 
zwei Gleichungen, deren jede dem raten Grade angehört, und jede für sich zu n Wurzeln führt. Die so erhal¬ 
tenen 2ra Wurzeln gehören sämmtlich der Gleichung (1) an, und bilden ihre vollständige Auflösung. 
Wäre man im Besitze aller Paare P t P\, P t P-i , •. • P Hn l’f von supplementären Partialproducten, so 
könnte man ohne irgend welche Auflösungen der Gleichungen von der Sorte (13) (14) zu den Wurzeln der 
Gleichung (1) gelangen, und zwar auf folgende Weise. Man sucht zwischen zwei verschiedenartigen Partial 
producten, etwa zwischen und das grösste gemeinschaftliche Muss m a> „ und erhält etwa folgende 
Relationen: 
7 w - Pw * ll^w, u J l U Pu • u • ...( 15 ) 
Die Gradzahlen von p w und p u sind gleich, und stellen sich mit der Gradzahl von m wu entweder gleich 
oder ungleich. Im ersten Falle ist ihre gemeinschaftliche Gradzahl gleich , im zweiten Falle hingegen er¬ 
hält man etwa v als Differenz dieser Gradzahlen. Das mit der eventuellen Gradzahl ■— v ausgestattete Poly- 
nom mit der Nulle verglichen, liefert möglicherweise eine tiefgradige Gleichung, die wir unmittelbar auflösen 
können. Auf diese Weise gelangen wir schon in Folge einer solchen Untersuchung in den Besitz von einigen 
der Gleichung (1) angehörigen Wurzeln. Übrigens müssen sich bei Vornahme von immer anderen und anderen 
Paaren verschiedenartiger Partialproducte auch solche grösste gemeinschaftliche Masse ergeben, welche je 
blos einen einzigen Wurzelfactor von (1) repräsentiren. 
Aus der hier gepflogenen Besprechung begnügen wir uns, die Überzeugung gewonnen zu haben, dass 
dieses eben angeführte Verfahren der Zerlegung des Gleichungspolynoms in Partialproducte ganz gewiss zum 
erwünschten Wurzelsysteme der Gleichung (1) eben so gut führen muss, als dies durch unmittelbare uns 
vorderhand noch unbekannte unmittelbare allgemeine Auflösung der Gleichung geschehen könnte. 
