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Lorenz Zmurko. 
Die allgemeine Gleichung ( 1 ), welche mit ihren Coefficienten keinen Nebenbedingungen unterliegt, und 
welche keine uns bereits bekannte periodische Auflösung zulässt, werden wir bestrebt sein, dieselbe in erwähnte 
Partialproduete zu zerlegen, in der Hoffnung, dass vielleicht die mit (7t) bezeichnte Hilfsgleichung sich leichter 
als die gegebene auf lösen lässt, und dass in Folge dessen die gegebene Gleichung in zwei neue Gleichungen 
vom tieferen Grade zerfällt, deren jede als eine vom tieferen Grade sich ebenfalls leichter behandeln lässt, und 
zur Erhaltung des completen der Gleichung ( 1 ) ungehörigen Wurzelsystems uns verhilft. 
In wie weit, wir auf eine so günstige Eventualität zählen können, erfahren wir aus der näheren Würdi¬ 
gung der Werthe, welche die Zahl s 2n = für fortlaufende Werthe von n— 1, 2, 3, 4, 5... bietet. 
Wir erhalten: 
(o) (lj ( 2 ) ~~ 10; y~. ( 3 ) ~ 35j - s io~ ( 4 ) — 252 > «n= [^j =462. y, 
folglich 
* 2 <2, s 4 <4, « 8 >8, > 10, s ljS >12,,..etc. ...(16) 
Im Angesichte der vorgeführten Vergleichungen können wir nur bei vorgelegten Gleichungen, welche 
nicht über den vierten Grad reichen, eine Hilfsgleichung (7t) erwarten, welche eventuell einen tieferen Grad 
beurkundet, als die gegebene, und desshalb auch leichter zu behandeln wäre, als die gegebene. Für Gleichun¬ 
gen über den vierten Grad hinaus muss die Hilfsgleichung (7t) einen höheren Grad beurkunden, als die 
gegebene. In Bezug auf den eben erwiesenen höheren Grad von (7t) wäre schon anzunehmen, dass sie sich 
schwieriger behandeln lässt, als die gegebene. In Erwägung jedoch, dass (B) als Eliminationsgleichung mit 
ihren Coefficienten manchen Bedingungen unterworfen sein dürfte, und gelegentlich auch solchen Bedingun¬ 
gen, deren Erfüllung die Hilfsgleichung zu einer solchen speciellen Gleichung gestalten, welche periodische 
uns bisher schon bekannte Auflösungen zulässt, müssen wir diesen Fall einer näheren Discussion unter¬ 
werfen. 
Ist eine mit allgemeinen, keiner Bedingung unterworfenem Coefficienten (a 0 , , « 2 ,...a„_,) versehene 
Gleichung wegen 2»>4, etwa wegen 2» = 3 -)-<7 q> 1 in periodischen Formeln nicht auflösbar, so sind wir 
bemüssigt, zur Hilfsgleichung (7t) unsere Zuflucht zu nehmen, welche einen die Zahl 2 n um Q Einheiten über¬ 
treffenden Grad m beurkundet; dies gibt die Relationen 
2 n — 8-f-y , m — 3-H-y-H Q. 
Die Coefficienten (C 0 , C\, der Hilfsgleichung (M) lassen sich im Wege der Elimination durch 
Coefficienten (« # , a i; .. .a 2n ~i) der gegebenen Gleichung darstellen, und veranlassen die Bestimmungsglei¬ 
chungen 
Cg = fgi%, 0 = 0, 1, 2, 3..., (ro-2), (m— 1). ...(17) 
Wenn man aus diesen m Bestimmungsgleichungen die 2 n Grössen a 0 , a l; o t ,...a 2 „_, eliminirt, so erhält 
man zum Resultate blos aus C' 0 , C t) gebaute Gleichungen, etwa in der Form 
F,(C 0) C t , C t , ... O m ) = 0 , cj = 1 , 2 , 3 ,... m — 2 z 
also jedenfalls blos m— 2n — (3-hg-hQ )— (3-t-<y) = Q Bedingungsgleichungen, denen die in (7t) spielenden 
m Coefficienten unterworfen sein können. Wären diese Bedingungen sogar solche, wie man sie für die even¬ 
tuelle Möglichkeit einer periodischen Auflösung wünscht, so sind sie jedenfalls nicht in hinlänglicher Anzahl 
vorhanden, da die Zahl Q kleiner ist, als die Differenz — welche im vorigen Paragraphe als die 
Anzahl der zu erfüllenden Bedingungen verlangt wurde, wenn überhaupt eine periodische Auflösung als zu¬ 
lässig erkannt werden soll. 
Aus der für s 2n gebildeten Zahlenreihe ersehen wir =3; im nächsten Paragraphe werden wir erfahren, 
dass die zur Gleichung des vierten Grades sich erbietende Hilfsgleichung (7t) sich wirklich als eine Gleichung 
vom dritten Grade, also als eine bereits periodisch aufgelöste Gleichung präsentirt, und in Folge dessen zur 
