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Beitrag zur Theorie der Auflösung von Gleichungen etc. 
completen Auflösung einer allgemeinen Gleichung vom vierten Grade führt. Aber schon für die Gleichung des 
fünften und sechsten Grades haben wir ,s ( . = 10, und sind versichert, dass die zugehörige Hilfsgleichung (i?) 
wenigstens die Zahl 10 als ihre Gradzahl aufweisen muss, und ganz gewiss weder eine periodische Auflösung 
zulässt, noch auch auf der nun möglichen Auflösung der Gleichungen des vierten Grades ihre Auflösung basi- 
ren kann. Die Auflösung dieser wenigstens zum zehnten Grade gehörigen Gleichung, wie auch der folgenden 
zu Gleichungen von noch höherem Grade gehörigen Hilfsgleichungen können wir von nirgends her erwarten; 
es hiesse dies einer Ungereimtheit, einer naturwidrigen analytischen Erscheinung das Wort reden, nach wel¬ 
cher die Analysis die Operationsgeschäfte niederen Ranges zu erledigen hätte, auf Grundlage der ausser allem 
Zusammenhänge vereinzelt stehenden Auflösungen von Gleichungen, welche der Reihe (16) gemäss mit ihren 
Gradzahlen rascher als in einer mit dem Quotienten 3 versehenen geometrischen Progression voraneilen. 
Übrigens belehrt uns der Anblick der Zahlenreihe (16), dass die Gleichungen in zwei gesonderte Partien 
zerfallen. Die in die erste Partie fallenden Gleichungen haben eine Hilfsgleichung (R ), welche in der Grad¬ 
zahl sich niedriger stellt, und desswegeu leichter auflösbar ist, als die ihr zugehörige Gleichung. Die Hilfs¬ 
gleichung in der zweiten Partie ist immer von höherem Grade, und desswegen schwieriger auflösbar, als die 
zugehörige Gleichung selbst. Namentlich sind es Gleichungen des vierten Grades, welche die erste Partie ab- 
schliessen, und wirklich eine allgemeine Auflösung zulassen. 
Wollte man, dieser Thatsache entgegen, auch noch einige oder beliebig viele über den vierten Grad 
reichende Gleichungen als allgemein auflösbar ansehen, so hiesse dies der liier allgemein für alle Grade auf 
gleiche Weise angelegten Analyse den logischen Widerspruch zumuthen, dass sie in einer und derselben Partie 
der allgemein auflösbaren Gleichungen nur einige wenige in Schutz nimmt, und durch die Hilfsglei¬ 
chung ihre Auflösung erleichtert, dagegen die übrigen ebenfalls in die Kategorie der auflösbaren Fälle 
gehörenden Gleichungen durch die Hilfsgleichung geradezu erschwert. 
Im Angesichte dieser aus der Zahlenreihe (16) sich natürlich ergebenden Grenzmarke schliessen wir, dass 
im algebraischen Sinne die Uber den vierten Grad hinausreichenden Gleichungen keine all¬ 
gemeine Auflösung besitzen. 
§. 3. 
Anwendung der analytischen Methode auf die Auflösung von Gleichungen. 
In Bezug auf die Gleichung vom zweiten Grade 
x * 
- 2 ax -(- h = 0 
...( 1 ) 
haben wir n - 
: 1 , -S'j 
= 1 und dann nach ( 12 ) 
- 2ax-hb = (x-haf — m ,!! = (*+»-»') == x i -\~2ax -+-(«* 
*) = 0 . 
Hieraus haben wir zur Bestimmung von m‘ folgende Gleichung : 
a*— m' % =b, m!— \fa l — b. 
Zur Bestimmung der Wurzeln der Gleichung (1) dienen dann die Gleichungen vom ersten Grade: 
an -a-hm' — x-\-a-\- ( a? — b = 0 , 
x-ha —m'= x-t-a —|/a 2 — b= 0, 
...( 2 ) 
daher 
x , 
: — a — \fa z —b, a ? 2 — —— b, 
oder zusammengefasst zu der sogenannten allgemeinen Auflösung der Gleichung (1) 
x- 
■«+ y a 2 
-b . 
...(3) 
...(4) 
Hier ist die Auflösung der Gleichung zweiten Grades durch Vermittlung der einfacheren zur Bestimmung 
von m' dienenden Hilfsgleichung ( 2 ) erfolgt. 
Denkschriften der niathem.-natimv. Gl. XLIV.Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedorn. 
