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Lorenz Zmurko. 
Bei einer Gleichung des vierten Grades 
haben wir 
und dann nach ( 12 ) 
x' l -\-2ax 3 -+-b x z -h2 cx-hd~0, 
n — 2, 
2 n —1 
n— 1 
x i -h2ax 3 -{-bx ,t -h2cx-hd=(x ,i -+-ax-+~py—(m , x-hp / y^=0. ..*(6) 
. : : j., f. j. . : U r ,|l 1 ,i|, ,i -,jf, 1f) d') 
Aus der Yergleichiuig der beiderseitig zu gleichnamigen Potenzen von x gehörigen Coefficienten erhalten 
wir zur Bestimmung von p, m', p' folgende Relationen: 
2p-Hffl*— m' 3 = b, dp — m'p' = c t p z — p'‘ l ^=td. •••(7) 
Hieraus haben wir 
Q t zn_ (* 
m' 3 = 2p i -ha z —b ! p’ % —p % —dj m' p' — ap—c, m'— —==r—, , .-r,(8) 
Jp *— d 
m' t p' t = (2p i -h-a i — S) ( p 2 — d) — (ap — c) 2 
und schliesslich geradezu der Relation s t = 3 entsprechend die zur Bestimmung p dienende Gleichung: 
2 p 3 — bp i -+-2(ac — d)p^[d(b —« 2 )—c 2 | = 0. •■■(9) 
*!» ? ' , ,, , f r „, i | [, i ! , '• . 
Diese zur Auflösung der Gleichung vierten Grades dienende Hilfsgleichung (74) ist dem dritten Grad an¬ 
gehörig und liefert nach einer der periodischen Formeln die Wurzeln p l , p 2 , p r Auf Grund einer dieser drei 
Wurzeln etwa auf Grund von p, finden wir nach ( 8 ) 
niy - 
«IV 
fp\—d’ 
Pi 
■ \[p\ —d. 
Die Wurzeln der vorgelegten Gleichung ergeben sich aus nun bekannten Partialgleichungen 
P = a: z H-(a~t-mi)a;-+-(p 1 -l-pi) = 0, 
<1 !: o // 11 / 
P' =x 3 -+-(a — m,i)x-t-(p 1 —pi) = 0, 
im Folgenden: 
2x x = •—(a-t-ml) -+- [/(a+mi ) 2 — 4(pj H-pi), 
2 = — (a-s-wj) — /(a-f-m'j) 2 — 4 (p 1 ) -Hp 2 ), 
2 aj 3 = — (a—mQ — /(a—wii ) 2 —4(pj—p'i), 
2 == — (a— jwJ) -+- \[\a—m[y — 4(p 4 —-p'i), 
...( 10 ) 
...( 11 ) 
I (fl 
...( 12 ) 
oder alle diese Werthe in die sogenannte allgemeine Auflösung zusammengezogen: 
2 a: 
-(■ 
[\a+ aPi ~ 6 ] 
hs 
Li 
5 
/ fp\—dJ 
\*-±(pi-+-h\- d )' 
...(13) 
Aus der letzten sogenannten allgemeinen Auflösung der Gleichungen vierten Grades erhält man alle vier 
Wurzeln, sobald man die darin vorkommenden zwei Gattungen von Quadratwurzeln auf alle möglichen Weisen 
mit den Vorzeichen -+- und — behaftet. 
Für <7=0 erhält man p—p' und demgemäss aus (12) a ; 4 = 0, wie es sein soll, weil in diesem Falle nur 
die Wurzeln x v , x t , x s der diesfälligen Gleichung dritten Grades 
x 3 -\-2 ax l -+- bx -t-2c = 0 ...(14) 
angehören. 
