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Beitrag zur Theorie der Auflösung von Gleichungen etc. 
Als Hilfsgleichung (A) für die Gleichung (14) erhält man aus (9) 
2 p 3 -\-b p*-\-2 a c p — c z = 0... (A), 
...(15) 
C G 
welche für p — -in die Gleichung (14) libergeht, und besagt, dass — , eine Wurzel der Hilfsgleichung 
d. O \ / ] sy. 
(15) sein wird, sobald die cubische Gleichung (14) den Werth x' zur Wurzel hat. 
c 
Für d= 0 lind p. =— —- erhält man 
x 
m\ = ° T ' " = - (tM-aj') l f 1 , p\ = \[p\ d= 
!P\ d 
^ x'* x' 
und demgemäss aus (13) 
2x 
(- 1 -+-/ 1 ) 
...(16) 
woraus durch Specialisirung der darin vorkomnienden zwei Wurzelzeichen in Bezug auf die möglichen posi¬ 
tiven und negativen Vorzeichen vier Werthe hervorgehen, von denen einer verschwindet; die drei von Null 
verschiedenen Werthe stellen die Wurzeln der Gleichung (14) vor. Daraus geht hervor, dass man bei einer 
cubischen Gleichung nach (16) je zwei Wurzeln als Functionen der dritten darstellen kann. 
Nachdem wir die Auflösung der Gleichung bis zum vierten Grade einschliessig erschöpfend behandelt 
haben, müssen wir der Auseinandersetzung im vorigen Paragraphe gemäss von dem Anstreben der allgemeinen 
Auflösung von Gleichungen weiterer Grade abstehen, wollen aber die hier eingeleitete Analyse befragen, ob 
sich nicht irgendwelche speciellen Gleichungstypen ausfindig machen lassen, welche zur Auflösung gebracht 
werden können. 
Offenbar können es nur solche Fälle sein, wo, unbekümmert um die diesfällig schwer zu bewältigende 
Hilfsgleichung (A), schon die ursprünglich angelegten Bedingungsgleichungen von der Art wie in (7) in 
Folge gewisser specieller Gleichungscoefficienten fähig sind, uns unmittelbar zu den Werthen von p, q, 
m’, p', q', zu verhelfen, und auf diese Weise uns gewisse Erleichterungen in Beziehung auf die Auf¬ 
lösung der Gleichung selbst zu bieten. Im Nächsten wollen wir uns namentlich mit solchen Gleichungen befas¬ 
sen, deren Coefficienten es zulassen, dass eine oder einige von den unbekannten Grössen p, g, m', p’, 
q'j ti, ...V den Nullwerth erhalten. 
Schon mit den Bedingungen (7) beginnend, suchen wir nach derjenigen Gleichungsform, welche den 
Werth p = () zulässt. 
Aus diesen Bedingungen 
2p-\-a l —m,'* = b, ap—m'p' = c, p *— p'^ — d 
...(17) 
folgt für — 0 
d, — b, m'^p' 3 = c*, 
■id mrgougiijb’f'l v>h ::ii 
daher auch 
p 
.2 
d (cd — V) -+- c 8 = 0, b = 
a‘ 
d 
eine durch die Gleichungscoefficienten n, b, c, d zu erfüllende Bedingung, wenn die Gleichung den Werth 
^ = 0 zulassen soll. Die dem angeführten Werthe von b entsprechende Gleichungsform ist: 
...(19) 
für welche wir aus (17) 
k* 
