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Beitrag zur Theorie der Auflösung von Gleichungen etc. 
Aus dev Vergleichung der zu gleichnamigen Potenzen von x gehörigen Coefficienten erhalten wir: 
b — 2p-+-a' —re' 2 , 
c — q-i-ap a' p'j 
d — 2h-\-2 aq-\~p % — 2a' q' — p' 3 , 
e — a k-hp q — a' Je' — p'q', 
f— 2 pk-’r-q* — 2p'Je' — q' 1 , 
g = qk—g'T, 
h = k t -Jcf 
...(65) 
nebst den zur Aufsuchung der Wurzeln dienenden Gleichungen des vierten Grades: 
aA-t- (a-f- a ') £c 3 -b(p-t-jp') x*-h (q-hq') x-h(k~hk') = 0 , 
:« 4 -+~ (a — re') x 3 -h(p — p') x*-h ( q — q') x->r-(f,—k') = 0 . 
...( 66 ) 
Bei der Annahme des Verschwindens eines einzigen von den Elementen p, q, k, ci, p\ q ', k' gestatten 
die Bedingungen (65) keine so leichte und unmittelbare Auflösung; wir werden daher hier blos einige auf das 
Verschwinden von zwei oder drei der erwähnten Elemente sich gründende Gleichungsformen vorfuhren. 
Bei der Annahme p=q=0 erhalten wir: 
...(67) 
[/re *—b 
Aus den zwei letzten Gleichungen k eliminirend erhalten wir: 
...( 68 ) 
Multiplicirt man diese Gleichung mit Id und setzt dann an die Stelle des Productes q'k' seinen Werth — g, 
so gelangt man zur folgenden Gleichung : 
...(69) 
Auf Grund eines aus dieser Gleichung (69) gewonnenen Werthes von le' erhält man aus der ersten Zeile in 
(67) unmittelbar die Werthe von q', p', a und dann aus einer der folgenden Relationen in (67) den Werth 
von h. Werden nun durch das gewonnene Werthsystem die sämmtlichen Relationen in (67) und (68) erfüllt, 
so wird eine solche Coefficienten besitzende Gleichung eine speciell allgemein auflösbare Gleichungsform 
sein, welche ihre acht Wurzeln aus den Gleichungen (66) bezieht, sobald man in derselben an die Stelle von 
p, q, k, p', q', Id die aus den Relationen in (67) und (68) eruirten Werthe hineinsetzt. 
Drückt man mittelst der Gleichungen (69), (68) und der letzten in (67) die Grössen Id, q’, h durch die 
Coefficienten a, b, c, d, e, g aus, so lassen sich schliesslich auch die Coefficienten f und h durch a, b, c, d, 
e, g ausdrücken, und etwa in folgender Weise bestimmen: 
/=?(«, *>, c, d, e, g) = f, 
h~^i(a, b, c, d, e, g)—$, 
...(70) 
und die Gleichung 
(I) 
x 8 -i-2ax 7 -hbx 6 -h2cx ! ’-i-dx i --h2 ex 3 -hfx i -h2gx-prp = 0, 
...(71) 
ist eben die verlangte specielle allgemein auflösbare Gleichungsform. 
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