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Lorenz Zmurlco. 
Schon ans dem Begriffe der Partialprodncte schliesst man, dass etwa P und P ( mit der Nulle verglichen, 
wenigstens eine gemeinschaftliche Wurzel besitzen müssen, welche ganz gewiss auch der Gleichung 
P—P X =Q ...(90) 
angehören muss; dass auf gleiche Weise die Gleichungen wenigstens 
p=o, p;=o, p-p;= o, ...(9i) 
eine gemeinschaftliche Wurzel besitzen müssen, welche sich sowohl in (90), als auch in (91) je aus einer 
Gleichung des vierten Grades bestimmen lässt. Nach Ausscheidung der nun gefundenen gemeinschaftlichen 
Wurzeln aus den Gleichungen 
P=0 P' = 0, ...(92) 
verbleiben noch zwei Gleichungen vom vierten Grade, deren nun mögliche Auflösung die übrigen acht Wur¬ 
zeln ergibt. 
Würde man zwischen zwei Sorten von Partialgleichungspaaren noch die am Eingänge dieses Paragraphes 
erwähnte Bestimmung des grössten gemeinschaftlichen Masses in Verwendung nehmen, so könnte man die all¬ 
gemeine Auflösung der vorgelegten Gleichung abhängig machen von der Auflösung der Partialgleichungen 
noch tieferer Grade als der vierte. 
Sollen Gleichungen von noch höherem Grade auf Grund der speciellen Eigenschaft ihrer Coefficienten 
eine allgemeine Auflösung zulassen, so müssten solche Gleichungen nach Bedarf in mehrfacher Rücksicht, als 
eine specielle Gleichungsform sich stellen und in nöthiger Anzahl je in zwei Partialgleichungen sich zerlegen 
lassen. 
Bei Untersuchungen von Naturgesetzten können häutig Gleichungen höheren Grades zum Vorschein 
kommen, deren Coöffieienten aus weniger Parametern gebaut erscheinen, als der Grad der Gleichung hinweist. 
In solchen Fällen müssen diese Coefficienten gewisse Bedingungen erfüllen, und gelegentlich auch solche, 
vermöge deren die Gleichungen selbst eine allgemeine Auflösung zulassen. Eben in dieser Abhandlung findet 
man genügende Anhaltspunkte, um in solchen speciell günstigen Fällen die mögliche allgemeine Auflösung der 
Gleichung wirklich zu Stande zu bringen. 
§• 4. 
Auflösung numerischer Gleichungen. 
Zum Zwecke der Auflösung numerischer Gleichungen, gleichviel, ob mit lauter reellen oder auch com- 
plexen Coefficienten, können wir von dieser hier vorgetragenen Methode mit grossem Vortheil Gebrauch 
machen. 
Wie wir schon im Verlaufe dieses Capitels uns genügend überzeugt haben, sind die Bedingungsglei¬ 
chungen, welche bei. Gelegenheit der Umgestaltung des Gleichungspolynoms in eine Differenz zweier Quadrate 
zur Bestimmung der hiezu nothwendigen Coefficienten p, q, h, a', p', h', k',. . . aufgestellt werden, von sehr 
einfacher Gestalt, sie sind nämlich durchgehends unvollständige Gleichungen des zweiten Grades. 
Zur Auflösung eines solchen Gleichungssystems schreite man nach Anweisung des §. 5 meiner Abhand¬ 
lung: „Studien im Gebiete numerischer Gleichungen, XXX. Band“ in der Weise ein, dass man nach vorläufiger 
Weglassung einer Anzahl dieser Bedingungsgleichungen, an ihre Stelle ebenso viele Unbekannte gleich Null 
setzt, und die übrigen Unbekannten aus den beibehaltenen Gleichungen berechnet. Dieses offenbar unrichtige 
Werthsystem wird man dahin verbessern, dass man Eine von den ausser Acht gelassenen Gleichungen und 
auch eines von gleich Null gesetzten Elementen in die hiezu nöthige Rechnung einbezieht. Setzt man diese 
Correction stufenweise fort bis man bereits die letzte, ausser Acht gelassene Relation und auch das letzte 
unberücksichtigte Element in gehörige Rechnung gezogen hat, so wird das so erhaltene Werthsystem gerade 
dasjenige sein, welches den aufgestellten Bedingungen entspricht, und die erwünschte Aufstellung der zur 
Bestimmung der verlangten Wurzeln dienenden Gleichungspolynome bewirkt. 
