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Lorenz Zmurko. 
der Axe o £ eingeschlossene Feld mit zur or, parallelen Geraden in lauter schmale Streifchen abgetheilt. Aut 
einem solchen Lineal ist es sehr leicht zu einer beliebigen in die Zirkelöffnung genommenen Länge, die zu¬ 
gehörige reciproke Länge unmittelbar abzugreifen, um sofort mit der so geänderten Zirkelöffnung die Länge 
eines in der obigen Operation an die Reihe kommenden x., entsprechend zu verändern. Überhaupt leistet 
ein solches Lineal sehr erspriessliche Dienste bei der angenäherten Darstellung des continuirlirchen Zuges der 
durch obigen Kettenbruch (8) bestimmten Hilfscurve. 
Die erste Hilfscurve ist offenbar eine gewöhnliche Parabel, und lässt sich ebenfalls mit meinem Instru¬ 
mente (Conograph) sehr leicht durch einen continuirlichen Zug darstellen. 
In den Begegnungspunkten der erwähnten Hilfscurvenpaare ergibt sich jedesmal ein Coordinatenpaar 
(xy), welche die Gleichungen des Hilfscurvenpaares und somit auch die vorgelegte Gleichung selbst erfüllen. 
Der «Werth eines jeden Begegnungspunktes der Hilfscurven stellt somit eine Wurzel der gegebenen Glei¬ 
chung vor. 
In dem Falle, wo sich aus dem Gleichungspolynom ein Factor f s (y) wegdividiren lässt, stellt die Glei¬ 
chung der zweiten Hilfscurve blos dasjenige Gleichungspolynom vor, welches sich als Quotient bei dieser Divi¬ 
sion ergibt, und zu den in (12) erwähnten Wurzeln blos die noch übrigbleibenden Wurzeln der gegebenen 
Gleichung zu liefern hat. 
Insolange die im Kettenbruch spielenden Functionen x., den zweiten Grad nicht überschreiten, können wir 
das in (13) dargestellte Parabelsystem theils aus Geraden, theils aus gewöhnlichen mit dem Conograph leicht 
darstellbaren Parabeln zusammen setzen. In den specielfen Fällen, wo sich die x., in höherem Grade ergeben, 
als im zweiten, wird es genügen, das gegebene Gleichungspolynom mit einem neuen Wurzelfactor etwa (x —1) 
oder (x— «) für ein passendes « zu multipliciren, um hiedurch zu einer Gleichung zu gelangen, welche dann 
im Kettenbruche die missliebigen höbergradigen x., nicht mehr zum Vorschein bringt. 
Nach dieser für Gleichungen beliebigen Grades sich gleichbleibenden Methode gelangen wir zur Bestim¬ 
mung aller reellen positiven und negativen Wurzeln und gelegentlich in den Fällen (12) zu Paaren von einander 
entgegengesetzten Wurzeln, welche diesfällig auch complex sein dürfen. 
In den speciellen Fällen, wo der Grad der vorgelegten Gleichung den sechsten Grad nicht überschreitet, 
lassen sich einige Vereinfachungen dieser Methode constatiren. Die Gleichungen, mit Einschluss deren des 
vierten Grades, lassen sich mit Hilfe der Begegnungspunkte von Kreisen und Ellipsen und gelegentlich auch 
von Geraden ausfindig machen. (Siehe meine Abhandlung: „Studien numerischer Gleichungen“ im Anhang, 
Bd. XXX der Denkschr. d. kais. Akad. d. Wissenschaften.) Von der Behandlung dieser Gleichungen wollen 
wir liier abseben und unmittelbar zu Gleichungen des fünften und sechsten Grades schreiten. 
Diese Gleichungen können wir immerhin in der gemeinschaftlichen Form 
x b h~A z x !l -hA 3 x 3 -h J 4 x*-+-A 3 x-i-A 6 = 0, ...(15) 
voraussetzen, da im Fall A 6 — 0 das gefundene Wurzelsystem dieser Gleichung nach Ausscheidung der Wurzel 
x==0 die vollständige Auflösung der Gleichung 
x 5 -+-A i x 3 -+-A a x i -hA It x~hÄr J = 0, 
bildet, und in dem Fall, wo die Gleichung der Bedingung A i = 0 nicht entspricht, durch eine höchst einfache 
Substitution x—y — g 1 die vorgelegte Gleichung in eine solche Form übergeht, wo, von links nach rechts 
gehend, das zweite Glied fehlt. 
Wichtig ist es noch, dass neben A t = 0 der Coefficient A 3 von Null verschieden sich gestalte. Wenn die 
zur Auflösung vorgelegte Gleichung in Folge der erwähnten Transformirung neben A t = 0 auch noch A 3 = 0 
bietet, dann wird hoffentlich die reciproke Gleichung der gegebenen nach erfolgter Transformirung neben 
/1 ( = 0 ein von Null verschiedenes A., liefern. 
Ist jedoch die gegebene Gleichung auch bei ihrer reciproken Gleichung nicht im Stande bei obiger Trans¬ 
formirung neben A % = 0 ein von Null verschiedenes A f zu liefern, so wird die mittelst Substitution x = y-+-cc 
