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Lorenz Zmurko. 
und ihren Mittelpunkt (£, £) durch die Gleichungen: 
£~i~Y/~ 0, ^—f—‘T?—I— , Z/-g = 0 ...(27) 
bestimmt. 
Betrachtet man (c n p) als laufende Ooordinaten, so drücken die Gleichungen (27) diejenige Gerade aus, 
in welcher die Mittelpunkte der sämmtlichen Kreisschnitte liegen. 
Bezeichnet man mit A, p., v die Cosinuse derjenigen Winkel, welche irgend eine Richtung mit den Axen 
ox, oy , oe einschliesst, so hat man vor Allem die Gleichung der zur Richtung A, p, v conjugirten Durch¬ 
messerebene 
(u u A-t-«i 2 pi-t-w 13 v) oh- (u n A-e M 22 p.-H«2 ,3v)y-f-(w 31 A-f-«, a P-H-m 33 v) 2-t- («j A— i-m 2 p.H- w 3 v) = 0. ...(28) 
Soll diese Ebene zur xe parallel sein, so erhält man zur Bestimmung der zur ««-Ebene zugehörigen 
conjugirten Richtung A, p., v folgende Gleichungen: 
Da diesfällig 
so erhält man aus (29) 
u n A-i -u n y.~hu 13 v = ua t t A-f-w 32 p.-)-w 33 v = 0. 
2^3, l ■ - 0, j — ^33 — 1? 
A v 
...(29) 
...(30) 
woraus ersichtlich ist, dass diese Richtung mit der Richtung der Mittelpunktsgeraden (27) übereinstimmt. 
Die durch die zweite Gleichung in (27) gegebene Ebene enthält in sich die Mittelpunktsgerade und ist 
zur Axe ox parallel. Schneidet man mit dieser Ebene die Hilfsfiäche (18), so erhält man die Projection der 
Durchschnittslinie auf die Ebene xy, indem man aus (18) und der Gleichung sH-w 23 y~+-w 3 == 0 die Ordinate 
z eliminirt. Dies gibt: 
i (^22 ^ 2 ;;) n i 2w j 2 x y~\~ 2?Zj x~\- 2 (?/ 2 — Uq w 23 ) y —i— — ^ 3 ) — 0. 
...(31) 
Bezieht man die durch diese Gleichung gegebene Projectionslinie auf die Axen ox' ox und oy' 
-+-m 12 ?/- hu ‘ — 0]; so erhält man die entsprechende Transformirte von (31) im Folgenden: 
2(w 2 — u l u n — m 3 « 23 ) 
(1-+7*4)*" 
(a;'—t—?Zj) 2 —t— - 
22_ U U U n) ,./2 
■ 1+»* y ~ 
12 
y'MK 
-u,,- 
u n)= °- 
x-+- 
...(32) 
Dieses offenbar auf conjugirte Axenrichtungen bezogene Gebilde deutet im Allgemeinen auf eine Ellipse 
oder Hyperbel hin, je nachdem der Ausdruck (u n —u* n — w* 3 ) positiv oder negativ sich gestaltet. Wird jedoch 
m 22 — u u— u vi = 0, so entspricht die Gleichung (32) einer Parabel. In jedem dieser Fälle sind die in den 
erwähnten conjugirten Axenrichtungen liegenden Parameter leicht zu construiren, und man erfährt schliesslich, 
ob die Curve (32) 
im 1. Falle als eine wirkliche Ellipse oder vielleicht als eine Kreislinie, ein Punkt oder gar als eine ima¬ 
ginäre Ellipse; 
im 2. Falle als eine gewöhnliche Hyperbel oder als ein Paar zweier sich schneidenden Geraden: 
im 3. Falle als eine gewöhnliche Parabel, oder als ein Paar paralleler oder auch zusammenfallender 
Geraden, oder endlich als ein Paar von parallelen imaginären Geraden sich gestaltet. 
Deutet nun die Gleichung (32) auf ein reelles Gebilde hin, so bildet dieses Gebilde die Projection der 
Leitlinie, längs welcher die veränderliche, parallel sich verschiebende Kreislinie die Hilfsfläche (18) beschreibt. 
Ist hingegen das Gebilde in (32) imaginär, so fällt auch die Hilfsfläche (18) imaginär aus, und die Gleichung 
(17) besitzt in einem solchen Falle gar keine reelle Wurzel. Die Gleichung (17) hat auch dann keine reelle 
Auflösung, wenn eine wirklich existirende Hilfsfläche (18) von der Hilfscurie gar nicht getroffen wird. 
