Beitrag zur Theorie der Auflösung von Gleichungen etc. 
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Da nach dem Transformationsschema die Relation: 
5' 1; j = a 1( ! sin «-i-flj, j cos für h' bl =0 } 
t 
a. . 
tang « = -^ 
a \, i 
...(4) 
gibt, so existirt neben a' l( ,^0 immerhin ein von Null verschiedener Vermittlungswinkel a, welcher das Ver¬ 
schwinden von h\ { veranlasst. Hiedurch wird besagt, dass das Product u. n u' n = - — ,l '\ 1 ' 1 entweder schon 
P P 
von Natur aus verschwindet, oder erst mittelst eines passenden Wert lies von « zum Verschwinden gebracht 
werden kann. 
Im Fall a' hl = 0 hat man aus (1) die IIilfsfiächer?gleichung 
z (2 dm x— (— 2 y— t— z~ h2 —H 12 Uy x— i— 2 | =0. ... (IV) 
Im Falle a\ tl ^ kann mit dem Winkel aus (4) /)'_ ( = 0 veranlasst werden, und dann ist die Gleichung 
der Hilfsfläche 
z(fu'. ii x-¥-2u^y->ru n z-\-2u'^)-^(2u x x-^-'2u l y-\-u^) = 0 . •••( 0 ) 
In jedem dieser Fälle ist die Hilfsfläche im Allgemeinen ein hyperbolisches ParaboloYd, oder ein hyper- 
indischer oder parabolischer Cylinder und gelegentlich auch ein System von Ebenen. Immerhin ist es eine 
Fläche, welche sich durch Bewegung einer Geraden beschreiben lässt. Wenn a 2 , 2 und t nicht verschwin¬ 
den, so könnte man p = — Ö ' 1 ’ 1 setzen, und dadurch in (5) den Coöfficienten von z, nämlich w,,, zum Ver¬ 
as, 2 w ’ 
schwinden bringen. In diesem Falle wäre für das Gebilde (5) die Richtung der Axe oz zur Richtung der 
Ebene xy conjugirt. 
Um die descriptive Methode für die Darstellung des hyperbolischen ParaboloYds zu gewinnen, sei ganz 
allgemein: 
und die Gleichung 
oder auch 
w s = m 3 x -\-n 3 y -hr 3 z ~hg 3 
io ' s = m s x' -+-n 3 y' -\-r 3 z' -t -y s 
io" a — m,x"-t-n 3 y" -t-r s z" -+-g, 
IV y = 0 , 
{[w ,—-1 ) -4- (2C 2 ) = 0, 
...(7) 
...( 8 ) 
charakterisiren diesfällig das hyperbolische ParaboloYd. 
Zwei Punkte (x'y's'), ( x"y"z v ), welche den Gleichungen 
0, 
-</ = 0, 
...(9) 
genügen, müssen ganz gewiss in der Fläche (8) enthalten sein. Wir wollen noch zeigen, dass auch die durch 
(i x'y'z') und ( x" y"z") gelegte Gerade L q mit ihren sämmtlichen Punkten in der Fläche (8) enthalten ist. 
In der That erhält man aus den der L q ungehörigen Gleichungen 
x-r-x y—y 
x" — x' 
y —y z 
m s (x ■—x 
! 
h = bei gegebenem Punkte (x y z) constant. 
...(10) 
') -j-n, (y -y')-+-rfs —z') ; 
-io. 
m,(x" — x 1 ) -\-nfy" — y') H-r s (s" — z') w 3 —w, 
und demgemäss für s = 1,2, 3, wegen (9) 
h = -i 
1 
w. 
2 ? 
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