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Aristides Brezina. 
Man überzeugt sich leicht, dass für das praktische Rechnen die Bravais’sche Formel die weitaus 
bequemste ist; für die Discussion des Ganges der Winkel bei unbestimmt gelassenem (hkl) ist sie ihrer 
Einfachheit wegen von vorneherein geboten. 
Wir haben nun, um für eine beliebige Fläche ( hld ) die Winkel zwischen den Spuren der Oktaederflächen 
zu finden, in die Gleichung 1. für ( efg ) und ( mno ) alle Combinationen der Flächen (111), (Hl), (111) und 
(lll) einzusetzen. 
Fig. 4. 
Nehmen wir in der gnomonischen Projection Fig. 4, welche bei 
der vorwiegenden Verwendung von Zonen, Zonenaxen und deren 
gegenseitigen Winkeln am bequemsten ist, da sie erstere als Gerade 
darstellt, die gegebene Fläche x(hJd) als im Raumtheile ( 100 ) ( 110 ) 
(Hl) gelegen an, und ziehen die Zonen sx, <Bx, ox und Etc, zu denen 
die betreffenden Kanten oder Oktaederspuren senkrecht stehen, so 
sehen wir, dass dieselben in der Reihenfolge ox ) <Bx, E« und sx auf- 
einanderfolgen, wenn E» die rückwärtige Verlängerung von I,x oder 
die Zone zur Gegenfläche von S bedeutet — was natürlicherweise nur 
aut den Sinn des Fortschreitens in der Zone Bezug hat; wir bekommen 
somit, wenn wir zuerst die vier Winkel zwischen anliegenden Zonen¬ 
axen ansetzen, die Combinationen: 
Tabelle I. 
Signatur 
Oktaederflächen 
Winkeltangente 
{efg) 
{mno) 
<7 €> 
(111) 
(Hi) 
fo 1 J c 
tang ai ^ 2 + 49 -H a 
© 2 
(lll) 
(iii) 
tang = h , \f 
2 8 
(111) 
(in) 
tang « 3 = [ W+W+V 
s a 
(lll) 
(iii) 
tang 
<r2 
(111) 
(iii) 
8 @ 
(lll) 
(iii) 
h l 
tang « 6 = /(/ k „ J Ä 2 -t-F 2 -N 2 
Alle Winkel sind hiebei spitz angenommen, mit Ausnahme von a fi , der, wie wir sehen werden, einmal 
durch den Werth 90° hindurchgeht; die Summen h-hic, etc. in den Zählern sind die durch Rückberech- 
nung von (hkt) entstandenen gemeinschaftlichen Theiler. 
Wir überzeugen uns leicht, dass es genügt, die Verhältnisse eines Raumachtundvierzigstels zu betrach¬ 
ten, also etwa des Raumes (100) (HO) (111), wofür alle Indices positiv und h>k>l , weil sich die Verhält¬ 
nisse dieses Raumes entweder symmetrisch oder identisch wiederholen; läge x' Fig. 4 im Raumtheile (100) 
(HO) (Hl), so wäre es mit x bezüglich der Ebene (001) oder der Zone [(100) (HO)] symmetrisch, und es 
müsste sich, wie auch die Figur veranschaulicht, die Vertheilung der Zonen von x' zu der von x wie Bild und 
Spiegelbild verhalten; es müssten also die gleichen Winkel, nur in entgegengesetzter Reihenfolge aneinan¬ 
derliegen. 
Dies zeigt sich auch aus den Formeln Tab. I; denn wenn x das Zeichen (Jdd) hat, so ist x' (hJel) und 
wir bekommen durch Negativsetzen von i die Winkel: 
