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Hugo 8eeliger. 
Die zweite Bemerkung bezieht sich auf einen Satz aus der Theorie der mechanischen Berechnung von 
Doppelintegralen, der bei den erwähnten Rechnungen in Anwendung kam, und von dem ich vermuthe, dass Cr 
sonst nicht immer in der richtigen Weise angewandt worden ist. Handelt es sich in der bekannten Gauss- 
Encke’schen Bezeichnung um die Auswerthung des Doppelintegrales: 
a+-(m+-n)u 
J. 
= J'J"fix) dx dx , 
so ist die Frage zu beantworten, wie J zu berechnen ist, wenn zwischen den Grenzen a und a~h(m~hn)w, etwa 
bei a-hmw, ein Wechsel in der Wahl der Grösse von w vorgenommen wird. Es sei z. B. zwischen a und 
a-hmw das Intervall, in welchen die Functionswerthe berechnet werden = 2 Einheiten, und von da ab bis 
o+(ffl+»)w nur eine Einheit. Das Interal J muss, in der in der Mathematik üblichen Form geschrieben, so 
dargestellt werden: 
a+{m+n)w 
J 
a+(m+n)w x a+mw x a+(m+n)w x 
J dx ■ J f(y) d !l = Idx . J f(y) dy -b J' dx . f f<+) dy. 
CI (X & fl. ft I /Wl .1 II 
Das zweite Doppelintegral ist aber: 
a-h(m~hn)w 
a-h(m-hn)w x a+mw 
J dx ■ )ff(y) d y-+-f fiy) dy 
a+mw a+mw a 
Gebrauche ich nun die in der Theorie der mechanischen Quadraturen meistens übliche Bezeichnung^ 
weise, setze also: 
so wird: 
b x 
ff(x) dx % =y ix j f(y) dy , 
a + {m+n)w 
s* s? ' a-r\m-rn)w a+{m+n)w a+-mw 
Z JJ f( x )dx' i -+-JJf{x)dx % -b-J' dx . ff{y)dy. 
a\mw a+mw a 
J : 
Bei verschiedenen Gelegenheiten habe ich diese Formel falsch angegeben gefunden, indem das letzte 
Glied rechts einfach übergangen wird. Dieses letzte Glied ist aber ein einfaches Integral, indem sich die 
Integration in Bezug auf x ausführen lässt. Man hat demnach: 
a+mw a-h(m-hn)w a+mw 
J = / / f(x) dx 8 -+- 
fix) dx 1 ■ 
a+mw 
- nw . 
.(i) 
Ich nehme nun an, dass bis zum Argumentenwerth a-hmw die Functionswerthe in dem Intervalle w 
berechnet vorliegen, während von dieser Stelle an bis in dem Intervalle vorwärts gegangen 
wird, und zwar seien v in dem letzten Intervalle berechnete Werthe. Dann ist 
nw — vw.. 
Man kann dann die Integration J so ausftihren, dass man nach den bekannten Regeln das Doppelintegral 
a+{m+n)w 
j f fi x ) dx% 
a+-mw 
berechnet, und die anderen zwei Glieder in der Formel (1) dadurch berücksichtigt, dass man in bekannter 
Weise die Anfangswerthe der zweiten und ersten summirten Reihe gehörig bestimmt. Man hat dabei nichts 
Anderes zu thun, als die gewöhnlichen Formeln für die in (1) vorkommenden Integrale einzusetzen; dann 
