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Anton Puchta. 
wobei 
«=/i, 
jedoch von h-1 verschieden ist. 
Allgemein erhält man, wenn man die Elemente a v a z ...a m nimmt, wobei m eine Primzahl, und zwar die 
erste Potenz sein soll, und auf sie die cyklische Substitution S = (a v o. l ...a m ), sowie ihre (m —1) Potenzen an¬ 
wendet S l , S 2 ... S m ~ l , dann die Resultate, immer mit jenem Elemente beginnend, das a, ersetzt, die erste, 
zweite... wte Zeile einer Determinante sein lässt, folgende Determinante mten Grades 
...4) 
a t a % a 3 . . 
• Q'm — i 
C^2 ^3 ^4 * * 
• — i 
CC^ ßg 
■ a t a z 
(f'Ttx ^2 * * 
• Cf"m — 
m {m — 1) 
ist gleich (— 1 ) 
2 mal 
welche aus a t -ha t a-ha 3 a 2 -f- entstehen, wenn man hierin «, das eine beliebige von -t-1 
verschiedene Wurzel der Gleichung x m = 1 ist, durch cc 2 , a 3 ,... a d m — 1 ersetzt. 
Der Beweis hiefür kann in nachstehender Weise geführt werden. Multiplicirt man die erste, zweite... mte 
Colonne obiger Determinante mit 1, a, cc 2 ,... a m_1 resp. und addirt alle Colonnen zur ersten, wodurch bekanntlich 
die Determinante nicht verändert wird, so lautet das wie Element der ersten Colonne, wegen der früher an¬ 
gegebenen Bildungsart der Determinante: 
a n -+-a n+ 1 2 «*-+- • • • -ha m cc' m ~ n -ha 1 a»-*+ l a“-»+ 2 - 
oder 
H-... H-a«, «■ 
TW—1 
so dass hiedurch ersichtlich die Existenz des obigen Factors in allen Elementen der ersten Colonne dargethan 
ist. Ebenso erhält man, da a eine beliebige von 1 verschiedene Wurzel der Gleichung z m = 1 ist, die übrigen 
( m _2) Factoren, und die Existenz des Factors, wenn «”= 1 genommen wird, folgt unmittelbar durch Addition 
aller Colonnen zur ersten. Nimmt man weiter aus dem Producte rechts das Glied a™ heraus, so besitzt dieses 
z. B. in 2) den Coefficienten -t-1, da l.a.a*.« 3 .« 4 = _t-l ist, in der Determinante dagegen den Factor 
m (m —1) 
(. _ 2 weil man ebenso viele Colonnenvertauschungen vornehmen muss, um es zum Anfangsgliede zu 
machen, und hiemit ist der Beweis für die obige Behauptung, wenn m eine erstd Potenz einer Primzahl ist, 
erbracht. 
B) Erste Verallgemeinerung des gefundenen Satzes. 
Ich notire zunächst wieder die Gleichung: 
abcdefghi 
bcaefdhig 
c a bfd e ig h 
d efg hiabc 
efdh ig b c a 
f d eig h c ab 
ghiabcdef 
hi g b c a ef d 
i g h c a bfd e 
{a-\-b-\-c-\~d-\-e-\-f-^-g-\-h-\-i) X 
(«H-Sa-t-c« 2 -y-d-hea-^-fa 2 -hg -hha.-j-ia. 2 ') X 
{a-\-ba 2 -\~ca-\-d-‘r-ea 2 -\-foc-\-g -\-ha 2 -t-fa) X 
( a-+-b-\-c-\-da-y-eoc-\-fa-\-ga 2 -{-ha 2 -^-ia 2 ) X 
= ( a-y-b-\-c-+-da 2 -\-ea. 2 ~\-fa. 2 -y~ga- J r-ha-\-ioc ) X 
( a-y-ba.-\-ca. 2 -\-da.-y-ea. 2 -y-f-y-ga}-y-h-\-ia.) X 
(a-hba-hca. 2 -]-d l x 2 -y-e-y-f<x-y-ga.-hkcc 2 -y-i) X 
( a-hbu 2 -hca-hda-\-e-\-fa. 2 -hgci 2 -hhtx-+-i ) X 
{a-\-bcc 2 -y-ca-\-da. 2 -y-ea.-y-f-y-ga.-^-h-\-ia. 2 ). 
...3) 
