Ein neuer Satz aus der Theorie der Determinanten. 
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Was das Bildungsgesetz dieser Determinante anbelangt, so gelangt man hiezu auf die folgende Weise, 
wobei ich die Substitutionstheorie umgehe, obgleich diese ebenfalls hier benützt werden könnte. Ist nämlich 
die nach A) gebildete Determinante 3ten Grades gegeben 
«i ßi 71 i 
ßi 7i «i ; 
7i «i ßi 1 
und ersetzt man in ihr « lf ß 1 > y 1 respective durch die drei nach dem in A) gegebenen Gesetze gebildeten 
Determinanten 
abc 
def 1 
ghi 
b c a 
> 
efd i , 
h ig 
c ab 
f de \ 
igh 
so entsteht die Determinante in 3). 
Allgemein erhält man, wenn m eine Primzahl in der ersten Potenz ist, dadurch, dass man jedes Element 
in einer nach A) gebildeten Determinante mten Grades durch eine ganz analog gebildete Determinante desselben 
Grades erse*zt, eine Determinante vom Grade m ! , gebildet aus den Elementen a t ...a m ?. Jede derartig 
gebildete Determinante, behaupte ich, ist gleich einem Producte von ?/P, in den Elementen linearen Factoren 
welche zu Coefficienten die m Wurzel der Gleichung z m = 1 haben. Um das Gesetz fti die Coefficienten zu 
erhalten, bemerke ich, an die Gleichung 3) anknüpfend, dass in der Determinante a 1 die Coefficienten nach 
A) durch folgendes System gegeben sind: 
1 1 1 
1 «a ! ... X) 
1 a 2 a 
Man erhält hieraus die Coefficienten der neun Factoren rechts in 3) in der Art, dass man den Elementen 
abc diese Coefficienten gibt, den Elementen def, dieselben Coefficienten vorsetzt, wenn man sie noch, 
entsprechend der zweiten Colonne in X) einmal mit 1, dann «, schliesslich ad multiplicirt. Endlich erhalten die 
Elemente ghi dieselben Coefficienten X, nur entsprechend der dritten Colonne in X) resp. mit 1, a 2 , a noch multi 
dlicirt. Man kann also so auch die Coefficienten der neun Factoren in 3) zu folgendem System vereinigt denken: 
XXX 
XaXa 2 X ...X') 
X a 2 X «X 
und damit dürfte das die Coefficienten in 3) beherrschende Gesetz klar sein. Allgemein also erhält man, wenn 
das System der Coefficienten einer nach A) gebildeten Determinante mit p bezeichnet wird, bei seiner nach 
dem obigen Gesetze gebildeten Determinante, z. B. 5 2 = 25ten Grades das System der Coefficienten aus dem 
Schema: 
p., p, p, p, p, 
p, p«, pa 2 , pa 3 , pa 4 
p, pa 2 , pa 4 , pa, pa 3 . . . v) 
p, pa 3 , pa, pa 4 , pa 2 
p, pa 4 , pa 3 , pa 2 , pa 
wobei a eine von -t-1 verschiedene 5te Einheitswurzel ist, u. s. w. bis zu einer Determinante vom Grade n,}. 
Was den Beweis dieser Behauptung anbelangt, so wird derselbe wörtlich in derselben Weise geführt, wie 
in A), wenn man die Bildungsart dieser Determinanten, sowie das Gesetz der Coefficienten beachtet, so dass ich 
ihn, 11 m nicht zu wiederholen, übergehe, und nur bemerke, dass wegen m % —1 = (m —1) (m-h 1) der Factor 
