Ein neuer Satz aus der Theorie der Determinanten. 
281 
Dieses Product von 15 Factoren, welches gleich D) ist, hat aus dem früher angegebenen Grunde noch den 
13 .( 18 — 1 ) 
Factor (—1) 2 = —1 zu erhalten. 
Der Beweis für diese Determinante D) soll hier wegen des Abschlusses völlig gegeben werden. Jede 
Zeile in n gibt drei Factoreu, weil x selbst drei Zeilen enthält, da jedoch die fünf Zeilen in n aus der zweiten 
hervorgehen, wenn man unter Beachtung, dass ß 5 = 1 ist, ß durch ß* ß 3 , ß 4 , ß 5 ersetzt, so genügt es offenbar 
für die Existenz aller 15 Factoreu, den Nachweis für die drei der zweiten Zeile in tc zu führen. Diese drei 
Factoreu der zweiten Zeile entstehen aber aus dem zweiten von ihnen, nämlich aus 
«i-f-fflj a+ffj a z -t-« 4 ß-i-a 5 aß-ha 6 a z ß-ha 7 ß z -+-^ 8 aß 2 -+-<7 9 cdß 2 -+-« 10 ß 3 +« 1( aß 3 -ha J2 a 2 ß 3 H-« 13 j3 4 -i-a 14 aß 4 
-t-a 15 a z ß 4 
wenn man a. durch d, d ersetzt unter Beachtung von d = 1, demnach ist der Nachweis aller 15 Factoren 
auf die Existenz dieses einzigen Factors reducirt. Allein auch für die Existenz dieses einen Factors kann die 
Beweisart noch reducirt werden. Multiplicirt man nämlich die 15 Colonnen der Reihe nach mit 1, a, d, ß, <xß, 
dß, ß 2 , ß 2 a, ß*d, ß 3 , aß 3 , dß 3 , ß 4 , aß 4 , a 2 ß 4 und addirt sie sämmtlicli zur ersten, so entsteht im ersten Gliede 
dieser Colonne der Factor, welchen ich /' heissen will, offenbar, und in dem zweiten Gliede derselben Colonne 
d P, im dritten aP u. s. w. es erscheint in den sämmtlichen Gliedern nach dem Bildungsgesetze der 
Determinante P nur resp. multiplicirt mit 
1, d, a, ß 4 , ß 4 a 2 , ß 4 a, ß 3 , ß 3 a}, ß 3 a, ß 2 , ß 2 « 2 , ß 2 a, ß, ßd, ßa, 
und zwar mit, zwingender Nothwendigkeit, womit der Beweis völlig erbracht ist. 
Es ist jedoch zu beachten, dass man dieselbe Determinante D), also auch dasselbe Product für sie erhält, 
wenn man von der Determinante 
a i ßz 7z 
• ßz 7z «z 
7z «z ßz 
ausgeht, und in ihr a 2 ß 2 y 2 durch die nachstehenden Determinanten 5ten Grades ersetzt: 
«j u 4 a 7 a w a 13 
*2 *5 *8 *11 *14 
«3 «6 «9 «12 «15 
*4 *7 *10 *13 *1 
*5 *8 *11 *14 *2 
«6 «9 «12 «15 «3 
*7 *10 *13 *1 *4 
«8 «11 *14 «Z *5 
«9 «12 «15 «3 «6 
*10 *13 *1 *4 *7 
*11 *14 «2 «5 «8 
«12 «15 «3 «6 «9 
« 13 a 4 a 7 ö 10 
«14 «2 *5 «8 «11 
«15 «3 «6 «9 «12 
Der Grund hiefür ist eben, dass ich aus der ersten Zeile 
«1 «2 «3 «4 «5 a 6 «7 «8 a 9 «10 «11 a n a i3 *14 *15 
alle folgenden durch die Anwendung der Substitution 
S = («j a 3 )(« 4 a :> a 6 )(a 7 a 8 a 9 )(« 10 « u a i 2 )(a i3 « Vi « 15 ), 
und ihrer Potenzen, mit daran schliessender Anwendung der Substitution 
2 = («j « 4 a 7 a 10 « 13 )(ff 2 « 5 « 8 « u « 14 )(« 3 a 6 a 9 a n o 18 ) 
herleitete, ich jedoch ebenso hätte von der Aufeinanderfolge der Elemente wie in 2 ausgehen können, und nach 
2 erst 8 und die Potenzen hätte benützen können. 
Ich habe nur bisher in Determinanten von einem ungeraden Grade ganz analoge substituirt behufs Bildung 
von Determinanten höheren Grades. Ebenso gut jedoch hätte ich Determinanten von geradem Grade benützen 
können, wie das folgende Beispiel, das ich schliesslich noch hinzufüge, zeigt 
Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. XLIV Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. 
]] 
