über die Gemeinsamkeit particulärer Integrale hei zwei linearen Differentialgleichungen. 7 3 
Haben nun die l)eiden Differentialgleiclinngen F=0 und !|; = 0 v linear-unabhängige particnläre Inte¬ 
grale gemeinsam, ist also ■<p = 0 selbst die Gleicluiug der gemeinsamen Integrale, so ist klar, dass sieb die obige 
Gleichung auf 
r.F=p\^^ (10) 
redaoirt. 1 Denn sind 0 ,, . .z.,, v, gemeinscliaftliclie linear-nnabliängige particnläre Integrale dieser beiden 
Gleichungen, so genügt jedes derselben, wie die obige Formel zeigt, auch der Gleichung 
g [cp] = 0. 
Es sind also die v von einander linear-unabhängigen Functionen von x 
Mj = y (0j) ; = y (^ 2 ) . . . Mv = ? (2v) 
particnläre Integrale der Differeutialgleicbüng 
(j[\x, u , u'. . . mO—*)] = 0, 
welche nach u von der (v—l)tcn Ordnung ist, woraus folgt, dass’ q identisch Null ist. 
Wie die Gleichung; 
r.F=p{t^,\ 
zeigt, ist dann jedes particnläre Integral von F auch ein solches von 
P ['/'] = 0. 
Ist daher v das allgemeine Integral der Gleichung der (u—v)ten Ordnung: 
P Ü) = 0 ; 
so liefert die Integration der linearen Gleichung der vten Ordnung 
•\i = V 
das allgemeine Integral von F’ = 0. ‘ 
In den Ausdruck j) gehen aber auch die Cocfficicnten von y = 0 ein, welcher x\usdruck nur der ein¬ 
zigen Bedingung unterliegt, mit y = 0 kein ])articnläres Integral gemeinsam zu haben. Es entliält also p die 
(/jH- 1) willkürlichen Coefticieuten von wodurch es möglich ist, der Gleichung p = 0 verschiedene Formen 
zu geben, unter welchen die zweckentsprechendste auszuwählen ist. 
Berücksichtigt man nun, dass das Integral einer linearen Differentialgleichung gegeben ist, wenn das 
allgemeine Integral ihrer reducirten bekannt ist, indem dann jenes auf blosse Quadraturen zurückgeführt ist, 
dass also die Gleichung = v gelöst ist, sobald dies mit — 0 der Fall ist, so kann mau die vorstehenden 
Bemerkungen in den folgenden Satz zusammenziehen, der eine Verallgemeinerung eines sehr bekannten 'Plieo- 
rems darstellt: 
„Sind die säramtlichen particulären Integrale einer homogenen linearen Differential¬ 
gleichung der mten Ordn ung/=0 in einer höheren rater Ordnung W=0 enthalten, so kommt 
die Berechnung des allgemeinen Integrals der letzteren zurück auf die Integration von 
f—0 und einer anderen linearen homogenen Gleichung der (w—»«jten Ordnung.“ 
Die eben entwickelte Formel (10) beruht auf der Voraussetzung, dass alle particulären Integrale von 
\p = 0 auch der Gleichung F’=0 genügen. Diese Formel kann als ein specieller Fall der folgenden ange¬ 
sehen werden, welche unter der Annahme abgeleitet wird, dass die Gleichung der wten Ordnung F’=0 mit 
der Gleichung der mten Ordnung / = 0 nur /r particuläre Integrale gemeinsam habe. Für den Fall k = l zeigt 
die Formel (9), da i? = 0, dass sieb zwei Operationssymbole F und Q bezüglich von der (m—1) und (n —l)ten 
Ordnung auffinden lassen dergestalt, dass 
ist. 
1 Frobenius, Orellets Jonrn.al f. M.atliem., Pnl. LXXVIT, p. 2,58. 
Deiiksclii'iflen der malhem.-naiurw. Gl. lAVI. Bd. Abliandhingon von Nichtmiigliedern. 
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