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G. V. Escherich. 
Haben die beiden Gleiclmngen kein Integral gemeinsam, so lassen sieb, wie a priori klar ist, ebenfalls 
zwei derartige Operations-Symbole berechnen, deren jedes aber von einer nm eins böberen Ordnung als im 
vorhergehenden Falle ist. Haben nun die Gleichungen F—i) und /'=0 k Integrale gemeinsam und ist W =0 
die Gleichung dieser gemeinsamen Integrale, so lässt sich, wie sich früher ergab 
F=p [yf] 
setzen, wo das Operationssymbol p von der Ordnung (pi—k) und q von der Ordnung (m—k) ist. 
Da nach der Voraussetzung F= 0 und / == 0 blos die Integrale der Gleichung W = 0 gemeinsam haben, 
so können die Gleichungen 
p [yr] = 0 und q [411 == 0 , 
wenn darin ¥ als die abhängige Variable betrachtet wird, kein particnläres Integral gemeinsam haben. Es 
müssen sich alsdann zwei Operations-Symbole K und 8 bezüglich von der niedrigsten Ordnung (m — k) und 
{fl — k) bestimmen lassen, dergestalt, dass ' 
wird. Es ist somit: 
Jeder dieser Ausdrücke verschwindet durch die Substitution der particulären Integrale, sowohl von F—0 
als auch von /— 0, also sind in den beiden identischen Gleichungen der (m-hn—k')ten Ordnung 
die sämmtlichen Integrale der beiden Gleichungen F=() und /=0 enthalten; ein Resultat, zu dem schon 
Herr Thome durch andere Betrachtungen gelangt ist. 
VI. 
Es mögen nun zur Erläuterung der vorhergehenden Entwickelungen beispielsweise einige Anwendungen 
folgen. 
1. Die einfachsten und directesten bestehen offenbar in der Untersuchung, ob und in welcher Anzahl zwei 
gegebene Gleichungen particuläre Integrale gemeinsam haben, in der Ableitung ihrer Gleichung und Benützung 
dieser zur Reduction der vorgelegten Gleichungen. 
Als Beispiel dienen die beiden Gleichungen; 
wo also 
F= A{Ax^ -+- 1) xy"' — (8a;* — 6) y" — 4 (4x^ -+- i)xy' -H (8* — 6) y ~ 0, 
/= 2x (2a;* -i- a; -t- 1) y'” (4,*^ -f- 3a; -h 3) ?/" — (2x ■ — 3) xy'-+- (2x — 3) y == 0, 
«u = (4,** -+-1) 4x 
«j = — (8a:* — 6) 
«2 = — (4a:* -I- 1) 4a; 
ßg = 8a;* — 6 
— 2x (2a:* - 1 - a; H- 1) 
= 4a;® -f- 3a; -H 3 
K-= -(2a;-.3) 
= 2a; — 3) 
ist. Dieselben haben blos zwei linear-unabhängige particuläre Integrale gemeinsam, da für sie sowohl B, als 
auch verschwindet, während 
(la., 
dm 
{da'^Y 
— «1 ^o) 
von Null verschieden ist. 
Ihre gemeinsamen Integrale sind also die particulären Integrale der Gleichung: 
d.m. „ ^ dm. , dm. 
^ d<4 dal, ^ (da:,) 
