über die Gemeinmmkeü parücidärer Integrale bei zivei linearen Differentialgleichungen. 
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welche nach Huhstitution der Werthe; 
d^E 
d-^E 
da'^ da'.^ 
d^E 
(ddy 
= 8(4^;^ -I- 5)x® (2x --t-l) 46*, 
: 4x'*(4,r* 
= 4^*(4;r* 
5)(4x*+l)26*, 
-5) (1—2a;)46*, 
übergeht in; 
f = 2x(l -h 2x)y" -+- (1 H- 4^*)y' -t- (1 — 2x)y = 0. 
Mittelst dieser Gleichung lässt sich nun die Integration jeder der beiden gegebenen Gleichungen in die 
Integration zweier einfacherer zerlegen, was an der Gleichung F=0 erläutert werde. Da die sämmtlichen 
Integrale der Gleichung der zweiten Ordnung y = 0 in F = 0 enthalten sind, so muss sich F in der horin 
darstellen lassen 
wo p ein zu bestimmender, nach f homogener linearer Differentialausdruck der ersten Ordnung ist. Zur 
Bestimmung seiner unbekannten Coefficienten und ergeben sich aus der Identität: 
F= 
df 
dx 
»»2 f 
die vier Gleichungen: 
• 4x(4,r* - 
8a:*- 
4x{4x^ -4 
■ 1) = 2a:(l -h 2x))n ^, 
- (J = (4x* + 8a: -t- 3-+- 2a:(l -i- 
Ij = (6a: —t— (^1 4a:*ju?,j, 
2 x)Yi 
8a:* - 1 - 6 = — 2m^ -i- (1 — 2a:)« 
von denen, im Einklänge mit den allgemeinen Auseinandersetzungen, je zwei eine Folge der beiden anderen 
sind. 
Hieraus findet man: 
y = c(4.£* -h 1)6“, 
wo c eine willkürliche Constante bedeutet. Somit ist die Gleichung; 
2a:(l -r- 2x)ij" h- (1 -+- 4a:*)y' -f- (1 — 2x)y = c (4a:* H- l)e“ 
eine Integral-Gleichung der Gleiclmng F= 0. 
Als zweites Beispiel will ich die homogenen linearen Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten 
benützen und annehmen in (1) und (2) seien bezüglich die a und b Constante. Wie die bekannte Substitution 
y = in dieselben lehrt, entspricht jeder gemeinsamen Wurzel der beiden Gleichungen: 
«g C'' -H Uj H-. . . a„ = 0, (1) 
6„ C”' -+- -u-. . . -H = 0 (2) 
ein gemeinsames particuläres Integral. In der That ist auch in diesem Falle die Resultante der beiden Differen¬ 
tialgleichungen, die nach der dialytischen (Sylvester’sehen) Methode gebildete Resultante der beiden obigen 
algebraisch.cn Gleichungen und gehen auch die Kriterien für die Anzahl der gemeinsamen i)articulären Integrale 
über in die bekannten Sätze und Formeln über die Anzahl der zwei algebraischen Gleichungen gemeinsamen 
Wurzeln. 
Die Gleichung der gemeinsamen particulären Integrale selbst, wird durch die obige Substitution in die 
Gleichung der den beiden algebraischen Gleichungen gemeinsamen Wurzeln übergeführt. 
k* 
