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G. V. Escherieh. 
Es sind somit iu den entwickelten Sätzen und Formeln über die Glemeinsamkeit particnlärer Integrale bei 
zwei homogenen linearen Difterentialgleicliungen die über gemeinsame Wurzeln algebraischer Gleichungen als 
sehr specielle Fälle enthalten. 
2. Die Thatsache, dass R verschwindet, wenn die beiden Differentialgleichungen, aus deren Coefficienten 
dasselbe gebildet winde, ein particuläres Integral gemeinsam haben, lässt sich auch zur Entscheidung benützen, 
ob und unter welchen Bedingungen eine gegebene Differentialgleichung particuläre Integrale von bestimmter 
lorm besitzt, sobald nur diese Form durch eine homogene lineare Differentialgleichung charakterisirt werden 
kann. 
Die Formel (7) gibt dann den Werth dieses particulären Integrals. 
Ich will beispielsweise zeigen, dass sich auch auf die Weise unmittelbar erkennen lässt, dass die Differen¬ 
tialgleichung der Kugelfunction ; 
(1 — — 2xy' - 1 - n{n -r-1)«/ = 0 
eine ganze rationale Function «ten Grades als particuläres Integral besitzt. Da eine ganze rationale Function 
ptcn Grades durch die Gleichung: 
yip-i-l ~ Q 
definirt ist, so kommt die gestellte Frage auf die andere zuiück, ob es eine ganze positive Zahl gibt, für 
welche die Kesultante der beiden obigen Differentialgleicliungen: 
ß = 
1——2(/j~i~l)x, 0.0, 0, 0 
I , —2jjx , —I p(p -1. 1 ) h(u -I- 1 )J, ü .0 
^ 0 7 ^ 7.6,.— xy —«.(m-hF; 
0 7 1 , 0 , 0,.0 
verschwindet. 
Nun haben aber in dieser Determinante (p + 3)ten Grades die zwei letzten Zeilen mit den Qn-1) 
letzten Colonnen lauter Nullen gemeinsam und es reducirt sich daher li auf das Product einer Determinante 
2ten und (jj-+-l)ten Grades und weil die erstere gleich Eins ist, wieder hlos auf die letztere. Da diese Deter¬ 
minante : 
0 , 0 , . 0 
— 2px , .—[p(p-Hl)—, 0. . .0 
0 , 0 , 0. . .n(n-+-l) 
= [p(p~l~l)——p(p-(-l)]- ■ - [nin-i-iy 
tüi p—n verschwindet, so genügt der vorgelegten Gleichung, wenn n eine positive ganze Zahl ist, eine ganze 
lationale lunction jden Grades, deren Werth sich aus ( 7 ) ergibt. 
Auf diese Weise ergeben sich auch unmittelbar die Fälle, in welchen die Differentialgleichung der 
hypergeometrischen Reihe 
x{i~x) ij''^ [ 7 —(a-Hj 3 - 4 -l)x]y' —ajSy = 0 
eine ganze rationale Function als particuläres Integral besitzt. Die Resultante dieser und der Gleichung: 
ist: 
y{p+l) — 0 
