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G. V. EHoher ich. 
so ergibt sich; 
1 
2p 
p («I «2 «'-+-a^)(l— x^)-h2a^ ( gj-Hxff jj) 
Es hat also jede DifFerentialgleiclmng, in der in dieser Weise durch a^ und sich ausdrücken lässt, 
mit der Gleichung ein particuläres Integral y, gemeinsam, dessen Werth durch die Formel angegeben wird: 
yi-hi = 
(IR _ dli 
da\' da'^ 
(1——2ffly 
(1— x^)a^-h2a^^x 
Somit liefert der Ausdruck: 
’ (1— x'-)az —2ag 
-f- 
y^=e J {i—x’-)a,+2a„x 
wenn hierin für der obige Werth eingesetzt wird, für jeden beliebigen, mit der Natur dieser Entwickelungen 
vertiägiichen Werth von a, und stets ein particuläres Integral der gegebenen Ditferentialgleichung. 
In ganz derselben Weise lässt sich auch aus der Bedingung, unter welcher die Gleichung: 
«0 -ha^ . . . -ha^ y = 0 
mit jener der Kugelfunction 
(1— x^)y" — 2xy' -+-n{n~\-X)y = 0 
ein particuläres Integral gemeinsam hat, dem Verschwinden der Resultante, als Function der übrigen Coef- 
ticienten darstellen, denn die Resultante ist auch in diesem Falle ein nach homogener linearer 
^ditferentialausdruk der ersten Ordnung. 
4. Zum Schlüsse will ich noch eine Anwendung des Ausdruckes der Resultante berühren und daraus 
gewisse Functionen herleiten, welche in der Theorie der homogenen linearen Differentialgleichungen eine 
ähnliche Rolle spielen, wie die symmetrischen Functionen in der Theorie der algebraischen Gleichungen,* 
auf die ausführlich einzugehen ich mir jedoch für eine andere Gelegenheit Vorbehalte. 
Da die Gleichung (6); 
ra, , • ■■/OJi) 
E~\yn)- ■ •/(«/«) 
für beliebige Werthe der , b^... und der verschiedenen Differentialquotienten dieser Grössen bestehen 
muss, so müssen, wie man leicht einsieht, die Coefficienten, welche auf den beiden Seiten der Gleichung den¬ 
selben Ausdrücken der h und ihrer Differentialquotienten angehören, einander gleich sein. Es lässt sich nun 
die Determinante ('/M-i-r*)ten Grades R nach dem La Place’schen Satze in ein Aggregat aus Producten je 
einer Determinanten wten und wten Grades zerlegen, und zwar werden dieselben erhalten, indem man jede 
Determinante wten Grades aus der Matrix 
7 n —1 
Go j 
7 n— 1 
hl ,. 
/M-l 
• Gn-\-m — 1 
0 
1 n—'i 
• * —'i 
0. . . 
mit der aus den übrigen Colonnen der Matrix 
m —i 
m — 1 
«1 ,. 
• —1 
0 , 
m — 2 
«0 , • 
0,... 
... a^. 
(«) 
1 Conf. die Noten des Herrn Appell in den Comptes rendues, Bd. XO und XCI. 
