über die Gemeinsamkeit parf kulärer Integrale hei zwei linearen Differentialgleichungen. 79 
gebildeten Determinante nden Grades nnd einer Potenz von (—1) mnltiplicirt, deren Exponent die Anzald der 
nötliigen Vertausclinngen angibt, nm diese m Colonnen der Keilie nach zn den m ersten der Matrix zu niaeben. 
In gleicher Weise lässt sich aber auch die rechtsstehende Determinante in (6) als ein Aggregat aus Pro- 
ducten je zweier Determinanten ^den Grades darstellen, und zwar werden dieselben erhalten, indem man jede 
aus der obigen Matrix {h) gebildete Determinante «ten Grades mit der aus den gleichstelligen Colonnen 
der Matrix 
y(m+n-i) . y(m+n-i) ^ _ y^ 
y{^+n-i) ; yip+n-^). . .y„ 
gebildeten Determinante u.ten Grades multiplicirt. Somit ist diese letztere, abgesehen von der Potenz von (—1), 
der mit dem Factor ff~" e“ J ” versehenen aus den restlichen Colonnen der Matrix («) gebildeten Deter¬ 
minante «den Grades gleich. 
Diese Betrachtungen führen also zu dem folgenden Satze; 
Bilden y,, ^ 2 •• ein Fundamentalsystem particnlärer Integrale der homogenen linea¬ 
ren Differentialgleichung; 
y'-hdny = 0 , 
so lässt jede aus der Matrix 
yF-‘) ;. 
• -yx 
■ -Vn 
wo ist, entnommene Determinante niaw Grades durch ein Product aus e~ i und 
einer aus den Coefficienten der Gleichung und deren Differentialquotienten rationalen 
Function ausdrücken. 
Von den Folgerungen, die diese Thatsache zulässt, will ich nur eine hervorhebend die Aufgabe lösen: 
Die homogene lineare Differentialgleichung zu bilden, deren jedes particuläre Inte¬ 
gral ein gegebener homogener linearer Differentialausdruck eines particulären Integral s 
einer gegebenen homogenen linearen Differentialgl eichung ist. 
Es seien ein Fundamentalsystem ))articulärer Integrale der gegebenen homogenen linearen 
Differentialgleichung: 
u^yW-i-aj -i_ . . . -+-any — 0 
und es sei die homogene lineare Differentialgleichung der «ten Ordnung zu bilden, deren particuläre Integrale 
z mit den y der gegebenen in der Beziehung stehen: 
2 = -H. . 
Bezeichnet Zi das Resultat der Substitution y = y,- in diese Relation, so ist die gesuchte Gleichung : 
^(n) ^ 
^(n) ^ 
Z^D ) •• -Zn 
1 % / n 
Es ist somit in derselben der Coefficient von 
»W . . . ^ . .Z^ 
(— 1 )’'-* 
4"^.. .4’’"'"'’ > 4"’^- ■ 
