über die Gemeinsamkeit farticulärer Integrale hei zwei linearen Differentialgleichungen. 81 
durch welche Annahme sie dann iibergelit in 
dA 
( 3 ) 
Es soll nun untersucht werden, in welchem Zusammenhänge umgekehrt ein den Gleichungen (2) und (3) 
gemeinsames Integral mit den particulären Integralen der Gleichungen (1) steht. 
Für ein particuläres Integral der Gleichung (2) ist 
a 
/= 
( 5 ) 
die Substitution dieses Werthes von f und des Integrals von (2) in (3) ergibt unter Berücksichtigung von (4) 
'/ aa(bf' — b' f)~ebß(b' f — bßf'). 
Ist nun dieses particuläre Integral beiden Gleichungen ('2) und (3) gemeinsam, so verschwindet für das¬ 
selbe auch der eben abgeleitete Ausdruck und es ist daher 
ibf' — b' f) (ßb — cca) = 0 
Hieraus folgt, da man a und ß stets so gewählt annehmeu darf, dass bß — ax nicht verschwindet 
<p b 
oder 
f = cb, 
wo c eine Constante bedeutet. 
Die Substitution dieses Werthes in (5) ergibt auch 
f=ca. 
Es ist somit jedes den beiden Gleichungen ip = 0 und / = 0 gemeinsam particuläre Integral auch den 
beiden Gleichungen 
Ä-h(l — c)a — Ü 
B-^(l—c)b = 0 
gemeinsam. Die hierin auftretende willkürliche Constante 1 —c = k kann alle Werthe mit Ausnahme von Null 
amiehmen, da sonst gegen die ausdrückliche Voraussetzung die beiden reducirten Gleichungen A = 0 und 
B = 0 ein j)articuläres Integral gemeinsam hätten. Ist aber k von Null verschieden, so ist jedes particuläre 
Integral von A-i-Äa = 0 oder B-hkb = 0 dividirt durch k ein particuläres Integral bezüglich von/—ü 
oder y = 0. 
Es ist also durch diese Überlegungen die Frage nach der Gemeinsamkeit eines particulären Integrals bei 
den linearen Differentialgleichungen /= 0 und f — 0 zurückgeführt auf die Untersuchung der beiden homo¬ 
genen linearen Differentialgleichungen y = 0 und X'^^- Auch diese können unter den gemachten Voraus¬ 
setzungen blos ein particuläres Integral gemeinsam haben, welches also immer nach (7) gefunden werden 
kann. Multiplioirt mit einem constanten Factor, der somit unmittelbar durch Substitution des Integrals in eine 
der Gleichungen (^1) gefunden wird, ist dann dasselbe das einzige mögliche den beiden Gleichungen (1) 
gemeinsame particuläre Integral. 
Auf den eben behandelten Fall, dass die reducirten Gleichungen der beiden Gleichungen (^1) kein parti¬ 
culäres Integral gemeinsam haben, lässt sich nun der allgemeinen zurückführen. Denn es lassen sich, wenn 
diese Voraussetzung nicht zutrifft, die beiden Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen an Stelle 
der abhängigen, in zwei andere transformiren, deren reducirte Gleichungen kein particuläres Integral gemein¬ 
sam haben. Ist nämlich z — 0 die nach (8) immer leicht herstellbare Gleichung der den beiden reducirten 
Deuk.-schriften der mathein.-iiaturw. CI. XLVI. Bd. Abhaadluiigeii von Nichtraitgliedern. 
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