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S. Kantor. 
Abzälilmigspiobleme eine neue Kategorie von Bedingungen auf, die sich nämlich auf die successiven Trans- 
forrniiten einzelner Elemente oder niederer in der Gebietsmannigfaltigkeit enthaltenen Mannigfaltigkeiten 
bezieht. Während feiner bei Verschiedenlieit der Bäume die Collineation — und auf Collineationen erstrecken 
sich einstweilen nur die vorliegenden I ntersucliungen — nur eine Discriminante besitzt, die ihr Exceptionell- 
werden Charakterisiren kann, bekommt sie bei CoTncidenz der 74, m absolute Invarianten und bietet demgemäss 
zu den rerscliiedensten Abzäliluitgsaufgabeit Anhalt, die sicli noch complieiren, wenn man fremde Mannig- 
faltigkeiterr hinzunirnrnt. Sind aber die beiden Räume gleicliartig (die Transformationen Collineationen), so 
knüpfen sich an die sich selbst entsprechenden Elemente mainrigfaltige neue Verwandtschaften, in denen die 
Hilfsmittel für die Lösung sämmtlicher voidiin erwähnten Probleme liegen, die mit den bisherigen Methodeir 
kaum zu erledigmr sein durften. Ich habe auf lineare 'rransformationen gleichartiger Rärrme bezügliche nach 
dieser Richtirng zielende Resultate in einer Abhandlung verötFerrtlicht, die sich mit dem fundamentalen Netze, 
beziehungsweise Gebüsche linearer Transformationen (irrit drei, respective vier festen Punktepaaren) beschäftigt. 
Auf diesem M ege sind auch Arbeiten entstanden, welche das damit verwandte, beziehungsweise vorbereitende 
Problem der cyclischen Gruppen in einer festen Transformation beliebigen Grades behandeln. ^ 
Die Ideen der ersterwähnten Arbeit lassen sich nun vielfach vervollkommnen und ergänzen, und ich habe 
die Darlegung dieser neuen Resultate in der vorliegenden Abhandlung unternommen. Dass die Sache nun auch 
nach anderen Richtungen hin eine gewisse Tragweite besitzt, wird man an einzelnen Stellen erkennen. Ich 
hebe die Anwendungen in A) III. a), d), sowie die .4ndeutungen in e), f), endlich B) I. 2, II. 5, III. 1.3 hervor. 
Doch auch unter dem Eingangs erwähnten Gesichtspunkte strebt die Arbeit weiterzuführen. In A), IV) und 
B) III habe ich nämlich das allgemeinste lineare c>o“-System im Ji.^ behandelt, auch wenn die Träger nicht 
coincidiien. Bei dem linearen Systeme kann man auch den anderen Weg zur Herstellung benützen, dass man 
einzelne Iransformationen zur Constituirung des Systems heranzieht. Mit Hilfe der singulären Transforma¬ 
tionen und covarianter Verwandtschaften hoffe ich, von dieser Theorie, die in der Analysis die lineo-lincaren 
Connexe liefert, eine Reihe neuer Sätze und eine zusammenhängende Darstellung gegeben zu haben, welche 
auch einige bisherige, manchmal unbewusste Anfänge übersichtlich verwerthet. 
Was die Darstellung anlangt, suchte ich vor Allem den Zusammenhang der Sache klar zu machen. Ent¬ 
wicklungen, die nur Illustrationen vulgärer Schlussreihen sind, habe ich unterdrückt. 
A) Lineare Transformationen in der Ebene. 
I. 
Das Netz von Transformationen mit drei festen Punktepaaren. 
1. Entsprechen sich unveränderlich drei feste Punktepaare aa', hh', cd, so ist ein Collineationsnetz 
bestimmt. Projectivische Methoden ergaben in der citirten Abhandlung das Resultat: Man kann einem festen 
Punkte p der Ebene Punkte p' entsprechen lassen, um nach n Transformationen in einen vorgegebenen Punkt 
p(n) zu gelangen. Die w* Punkte sind eine verbundene Gruppe in einem Netze von Curven n. Ordnung 
welches, wie folgt, construirt wird: 
Das Netz ist durch die Geradenpaare hc, h'd\ ca da'-, ab, a'b' constituirt. Man suche in der Verwandt¬ 
schaft p' — p" die fffj, welche den Geraden bc, ca, ah entsprechen, B^, \\, constituire ein Netz von Wg durch 
die drei Curven h'd, da', «A', I 4 , suche dann hieraus die Curven, welche gemäss der Verwandtschaft 
p'—p'" zu den hc, ca, ab gehören, A^, I 4 u. s. w., endlich in dem Netze der jene Curven ß„_^, 
die in p' —die bc, ca, ab ergeben, so constituiren die drei Curven 
_ h'd, da', /7„_i; a'b', P„_] 
3 Über successive lineare Transformationen. LXXXII.Bd. der Wiener Sitzungsberichte, p.l.B9. Ferner: Wie viele cyclische 
Gruppen gibt es in einer quadratischen Transformation der Ebene? Ann. di Mat. X, p. 64. Beantwortung derselben Frage für 
Cremona’sche Transformationen. Ann. di Mat. X, p.71. Sur le nombre des groupes cycliques dans une transformation de 
l’espace. C. R. 17. mai 1880. Sur les transformations lindaires successives dans uti espace ä r dimensions. Bulletin de la Soc. 
math. de France, 21. mai 1880. 
