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über die allgemeinsten Imearen Systems linearer Transformationen etc. 
das Netz der Denj;^’') einer Geraden entspreclien //einer Don // einer Gei-aden entspreclien //"' einer 
Cnrve «tei’. Ordnung, welche die der Übergangscurve des Systemes // entsprechende Cnrve in 3(w—1) Punkten 
bertihrt und rational ist. Daher: 
In jedem Büschel des Netzes sind « Collineatiouen enthalten, welche //”■ auf eine 
Gerade bringen. 
Die mit p durch das Netz verbundenen nd —1 Punkte füliren ilin nach n Transformationen in sich 
zurück. Die Netze liaben die Eigenschaft, dass, wenn m ein Factor von n, die mit j) in dh« verbundenen 
Punkte auch mit in dh, verbunden sind. 
sich zurückführen. . -fli'-] 
5. Verlegt manp nach so zeigt jetzt die Verwandtschaft dass immer/i—1 Punkte derp-Gruppe 
auf die Gerade aa' fallen (1. c. Art. 20), die nur eine cyclische Doppelgerade, aber keine periodischen Collinea- 
tionen hervorrufen. Hieraus: 
Es gibt nur Collineationeu, die jeden Punkt zu seinem n. Transformirten machen, das lieisst 
die Ebene in «-punktige Cyclen theilen. 
4. Die dem j; in jenen Collineationeu des Netzes, von denen p eine Doppelgerade trägt, entsprechenden 
p' liegen in einer Cnrve dritter Ordnung, welche p zum Dopj)elpnnkt und dort die von ihm ausgehenden 
Doppelgeraden als Tangenten besitzt. 
5. Zwischen den zwei Punkten (Geraden) des ersten Systemes entsprechenden Punkten (Geraden) des 
zweiten Systemes besteht eine Collineation mit den Doppelpunkten a'b'c' h Zwischen den einem Punkte p und 
einer Geraden d des ersten Systemes entsprechenden Punkten p' und Geraden o' des zweiten Systemes besteht 
eine quadratische Verwandtschaft, welche a'b'c' sowohl zu Hauptdreieck als Hauptdreiseit hat. (Vgl. diese 
Abh. A). HI. 9.) 
6. Jede Netzcollineation hat ein Doppelpunktstripel. Dieselben stellen eine involutorische Dreitheilung 
der Ebene dar. 
Nun sind in einer Collineation die Strahlbüschel a, a' projectiv, so dass ab, a! b' und ac, a'c’ sich ent¬ 
sprechen und erzeugen daher einen Kegelschnitte durch a, a', {ab, a'b') {ac,a'c'):^^, der für das ganze Netz 
nur in dem durch aa'^px bestimmten Büschel variirt. Bewegt sich p' auf einem Strahle durch a', so bleibt der 
Punkt (pa,p'a') und mit ihm der Directionskegelsclmitt A fest. Gleiches gilt für B. Die Schnittpunkte der den 
Strahlen entsprechenden H, B sind die drei Doppelpunkte der durch individualisirten Collineation. 
Eine Ortsgerade von p' macht die Strahlbüschel p'a!, p)'b' perspectiv und die Ä, B projectiv. Von deren 
Erzeugnisse 4. Ordnung sondert sich, da in beiden Büscheln dem Strahle ab die Kegelschnitte (a'b', a'c'), 
(a'b', bc) entsprechen, die Gerade ah ab und es bleibt eine Curve 3. Ordnung durch abcf^x übrig, wo f, ip, x 
die Schnitt])uukte (bc, b'd), (ca, da'), (ab, a'b') bedeuten. Daher: 
Die Verwandtschaft zwischen den Doppelpunkten und den Transformirten ju' ist 3—1- 
d eutig vom 3. Grade. Den Ger ad en des Systems entspre eben durch abcftp/. In dem Netze 
dieser Curven sind drei Büschel zerfallende enthalten, nämlich bc, ca, ab je mit den Kegel¬ 
schnitten der Büschel aa'^X’ bb'x'f, edfp. Die Fundamentalgeraden für a, b, c sind b'd, da', 
a'b' für f, X drei Gerade durch a', b',c', welche den Kegelschnitten aa'f^x> bb'ftpx, cdf'p/ 
entsprechen, a', 6', c'sind Fundamentalpunkte fnv p'. 
Durchläuft ein Doppelpunkt eine Gerade g und nimmt man ihn durch A, B auf, so sind dieselben zwei¬ 
zweideutig auf einander bezogen. Von dem Erzeugnisse bleibt nach Absonderung von a'b, und zweimal g 
eine Curve fünfter Ordnung durch a,h,c,a',b',c',f^,^^,x^: Genau der Verwandtschaft unter den Doppel- 
< Cf. Schröter, Cr. Borch. J., Bd. 62: Proble natis geometrici ad superficiem secundi ordiiiis per octo data puncta 
coustruendam spectantis solutio uova. 
fl— ^jjl...[l—=»<5) Punkte ^/, welche p erst nach Transformationen in 
t f J;J 
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2. Es gibt 1— ^.2 
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