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Über die cdlgemeinsten linearen Systeme linearer Transformationen etc. 
Grleichung der Curve ist, auf a&c bezogen, 
-I- -H C^X^GaGi — GaG,,G^^ = 
D 
2 
' '^ 2^3 *^ 1*2 *^3 1 
wenn 
ff* = -t- 
Gc — h^X^ -H -+- ^3^3 
die Gleichungen von b'd,c'a', a'h' sind und A ihre Determinante ist. 
2. Für das Folgende ist nun dieses Curvenhüschel von fundamentaler Bedeutung. In jeder Collineation 
trägt ein Doppelpunkt eine Strahlenprojectivität, deren characteristisches Doppelverhältniss in die absolute Inva¬ 
riante der Collineation eintritt. Das Product der drei Doppelverhältnisse ist Xpv = 1 . Die Doppelpunkte der 
Collineationen mit dem Doppelverhältnisse D erfüllen die Curve Itp sechster Ordnung des vorigen Artikels. 
Hat die Collineation zwei coincidente Doppelpunkte, so coi'ncidiren im dritten die Doppelstrahlen und 
bewirken dort D = 1. Die der ^3 vermöge % (Art. 6 , I) conjugirte Curve muss die Doppelpunkte coi’ncidenter 
Doppelstrahlen enthalten, in denen D = 1, ist also die If. Die .^3 und berühren sich überall, wo sie sich 
begegnen, also in sechs Punkten (p \; 
„Es gibt sechs Collineationen des Netzes, für welche alle drei Doppelpunkte coi’ncidiren. 
3. Die der Bp in % conjugirte Curve hat die Ordnung 6 . 5—3. 4— 6 . 2 = 6 , in f,<p,x Doppelpunkte und 
auf Bj) fernere 24 Punkte, von denen 12 auf Schnittpunkte mit §3 entfallen. Die übrigen 12 theilen sich in 
sechs Paare mit je gleichem 1) in ihren Collineationen. Also: 
Es gibt sechs Collineationen des Netzes, in denen zwei Doppelpunkte Projectivitäten 
gleichen characteristischen Doppelverhältnisses A tragen.“ 
Bezeichnet man sie, da aus der Gleichheit der A die Existenz in sich tränsformirter Kegelschnitte folgt,' 
als projective Rotationen, so gilt: 
Das Netz enthält sechs projective Rotationen mit gegebenem Drehwinkel. 
Die der Bp conjugirte B' hat in den zu den t^-Paaren conjugirten t Doppelpunkte, die wieder in einer /?, 
nämlich in B^ sind. B'd und id^treffen sich in ferneren zwölf Punkten, welche Collineationen mit den Doppel¬ 
nd 
Verhältnissen angehören. B'o und aber schneiden sich in zwölf Punkten 4 der Bß und in ferneren 
D- 
zwölf Punkten, welche auf B 1 liegen. 
in 
4. Nach Art. 3 enthält Bß sechs Punkte t mit Ergänzungspaaren t,. Die Ortscurve aller dieser t habe die 
Ordnung n und in je einen x-fachen Punkt. Da sie sich durch die Verwandtschaft mit den Doppelgeraden 
(Art. 7) in eine Curve derselben Classe umsetzen muss, gilt die Gleichheit 
2«— 3x — n. 
Ferner gilt, weil eben B!ß von dem Orte nur in sechs freien Punkten getroft’en wird (Doppelpunkten von B‘ß) 
ßn = 3.2x-+-12 
Somit ist a: — 1, w == 3. Hieraus: 
Die Drehungscentra der im Netze enthaltenen projectiven Rotationen erfüllen eine 
Curve dritter Ordnung durch und die anderen sechs Schnittpunkte der bc, ca, ab mit den 
h'c',c'a', a'V durch die (p)g und die sechs Doppelpunkte der beiden Collineationen mit dem 
Periodicitätsindex 3. Diese Curve J 3 ist der Ort der Doppelpunkte aller B'ß. 
1 Cf. „Bemerkung über lineare Tranaforraationen.“ Sitzimgaber. der kaia. Akad. d. Wiasenscli. in Wien, LXXXII. Bd 
II. Abtb., p. 35. 
