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S. Kantor. 
Von den achtzehn Scdinittpunkten mit Itri fallen sechs in sechs ergänzen Paare mit dem Doppel¬ 
verhältnisse -H - - , sechs ebenso viele Paare mit-Wird die Curve in der Verwandtschaft umgesetzt, 
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so folgt: 
„Die Doppelpunktspaare mit gleichem Doppelverhältnisse sind in einer Curve neunter Ordnung durch 
durch die Doppelpunkte der zwei periodischen Collineationen mit dem Index 3 enthalten.“ 
Die Verbindungslinien dieser Paare umhüllen eine Curve dritter Classe, die der durch die Transfor¬ 
mation aus 1. Art. 7 entspricht. 
5. Bx und B[j, begegnen sich ausser in in vierundzwanzig Punkten. Von diesen müssen zwölf auf 
die Collineationen |^Ä,/Ji, und zwölf auf entfallen: 
Es gibt zwölf Collineationen mit gegebenen charakteristischen Doppelverliältnissen 
l, p., V (wo Ä;j.v = 1 sein muss). Sind aber zwei davon gleich, so gibt es nur sechs (Art. 3.) 
Ü. Diese Betrachtungen dienen zur Aufsucliung der periodischen Collineationen, wenn man die Bezie¬ 
hungen ihrer Doppelverhältnisse anderweitig gefunden hat; wir aber schlagen den umgekehrten Weg ein. 
Für eine periodische Collineation mit dem Index n müssen die Doppelverhältnisse X, p. ,v Einheitswurzeln 
solcher Grade sein, deren kleinstes gemeinsames Vielfache n ist. Zunächst ist der gemeinsame Werth n möglich. 
Da es fln) primitive Einheitswurzeln uten Grades gibt, s und - aber dasselbe Resultat geben, so hat man /= 
solcher Collineationen im Netze. Die Anzahl aller periodischen Collineationen fand ich in der mehrerwähnten 
Abhandlung mit Hilfe der ohne Benützung der D als (s. I. Art. 3), daher ist die Anzahl 
für verschiedene Doppelverliältuisse — Qfn'’- Von diesen sind je zwölf im Netze enthalten, es gibt ihrer also 
Tö —ö?«'- Werden hiezu die^ gerechnet, welche Paaren gleicher D entprechen, so folgt: 
Es gibt-^-durch die Werthe der charakteristischen Doppelverhältnisse wesentlich 
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unterschiedene periodische Collineationen mit demselben Indexe. 
Dabei sind die Collineationen (1, s«, s” '^) nicht eingerechnet. — Ich erlaube mir liier seines interessanten 
Ergebnisses wegen einen Excurs. 
Alle Transformationen, in denen die charakteristischen Doppel Verhältnisse Einheitswurzeln bestimmter 
Grade sind, haben die Eigenschaft, dass sie paarweise angewendet eine Transformation derselben Art ergeben. 
Ist Ä = p = (wo die s primitive Eiuheitswurzeln der betreffenden Grade), so folgt: 
Die Transformationen bei festen Doppelpunkten bilden eine Gruppe von Ele¬ 
menten. Die Gruppe ist zweigliederig nach der Terminologie des Herrn Lie und kann 
erzeugt werden durch l,£p.; £x,l- 
Werden nun für X, p alle Combinationen genommen, welche n als kleinstes gemeinsames Vielfache 
ergeben, so hat man in wo die Summe über alle solchen Combinationen erstreckt ist, die sämmtlichen 
periodischen Collineationen mit dem Index n vertreten. Alle diese 'rransformationen bilden wieder eine Gruppe 
in welcher die obigen als Untergruppen enthalten sind. Zugleich hat man die Idendität gefunden: 
VI r ^ C*^) 1 
owil jede Collineation dreimal in der Summe auftritt. 
7. Mit Hilfe der D-Örter und der in den Artikeln 6, 7. I untersuchten Verwandtschaften kann man denOrt 
der Doppelpunkte aller Collineationen finden, in denen X, p, v einer algebraischen Beziehung /(X, p, v) = 0 
1 Diese Identität gehört zu Relationen der Art, wie sie neuerdings von Herrn G. Cantor, Math. Ann. XVI. Bd., jiag. 582 
und von Lipschitz, C. R., Dec. 1879 gegeben wurden. 
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