Uber die allgemeinsten linearen Systeme linearer Transformationen etc. 
Genüge leisten. Da man aber jede covariante Eigenschaft einer Collineation durch eine Bezicliung zwischen 
ausdrücken kann, so lassen sich nun alle auf covariante Örter dieses Collineationsnetzes bezüglichen 
Prol)lemc lösen. So kann man, um ein Beispiel zu erwähnen, nach den Collineationen fragen, welche gewisse 
Transtormirte von/; und in Folge dessen jedes Punktes der Ebene gewissen Bedingungen ents])rechend machen. 
Ich habe diesen Fall in der citirten Abhandlung untersucht.' Dabei benöthigt man noch den folgenden Satz: 
Der Ort der Doppelpunkte, wclelie zwei Dojipelgeraden mit Doppelverhältnissen /, p 
aussenden, die ein bestimmtes gegenseitiges Verhältniss /,• besitzen, ist eine Curve sechster 
Ordnung. Alle diese bilden ein Büschel und haben in den Schnittpunkten vonw, uh mit 
he, ca, nb neun Doppelpunkte. Dazu gehört dojipclt gezählt die Curve J^. 
IIP 
Einige bemerkenswerthe specielle Lagen für die festen Punktepaare des Netzes, 
Vor Übeigang zum allgemeinsten Netze möchte ich aut einige Anwendungen hinweisen, in denen sich 
deutlich die Fruchtbarkeit dieses Gebietes für die Auffindung neuer geometrischer Thatsachen erweist. 
a) Die Geraden aa',bh',cc' convergiren gegen s. Unter den L.^ (Art. 6, I) tritt jetzt noch ein 
Büschel zerfallender Curven auf: die Gerade (p\px mit dem Kegelschnittbüschel abcs. Im Systeme d' entspricht 
ihm das Strahlbüsehel s. Die.^i^ zerfällt in und einen Kegelschnitt, jenen covariauten Kegelschnitt der Con- 
figuration nhca'h'c'^f/ß, nach welchem diese sich selbst polar ist. Für die conjiigirte d’ransformation sind 
mir eintache Fundamentalpunkte und die conjiigirten Curven der Geraden sind vierter Ordnung durch alle 
zehn Punkte mit einem variablen Doppelpunkte. ^ 
Die riansformation 7’wird hier linear, weil die llaiiptpunkte y, -ß allineirt sind und ebenso die Ilaupt- 
geiadcn gegen einen Punkt U) convergiren. >Sic ist involiitorisch, da den zwei Doppelgeraden von t Dopjiel- 
ininkte von r entsprechen. Daher: 
Die Verwandtschaft zwischen den Dojijielpiinkten und den gegenüberliegenden 
Doppelgeraden ist die Polarität des covariauten Kegelschnittes. Die Doppelpunktstripel 
sind conjiigirte Tripel des Polarsystenis und müssen ausserdem mit den sechs Punkten 
eines in der Configiiration enthaltenen Vierseites die Basis eines Büschels bilden. 
jllieraus folgt der geometrische Satz: 
„Verbindet man einen Punkt mit jedem in der Configiiration enthaltenen vollständigen Vierecke " so 
schneiden sich diese fünf Curven in zwei weiteren Punkten.“ — Ans der Beschaffenheit der Configiiration 
schliessen wir so den interessanten Satz: 
Ist ein vollständiges Viereck defg einem vollständigen Vierseite ua'bh'cc' so umgeschrieben, dass de, df, 
<fh fy, eg, ef, ab mit u,, h', c, a', h, c', c allineirt sind, " so hat jeder dem ersteren umgeschriebene zu jedem 
dem letzteren eingeschriebenen Kegelschnitte solche Lage, dass oo' Tripel dem ersten ein- und dem zweiten 
umgeschiieben sind. Alle möglichen Contactpiinkte erfüllen den covariauten Kegelschnitt.] 
Von den Kj, enthält eine s. Da die Strahlenpaare ea, sa'-, sh, sh': sc, sc' resp. coiücidiren, ist ihre Projec- 
tivität eine Identität, die Curve E ist somit If, Sie kann aber sa weder anderwärts schneiden noch in .s 
berühren, da sie auch sh, sc. berühren müsste, .s- ist also ein Doppelpunkt: 
„Es gibt eine Curve sechster Ordnung, welche in den zehn Punkten dieser Configiiration (3, 3),^ Doppel¬ 
punkte besitzt. Sie berührt fals conjiigirte Curve) den covariauten Kegelschnitt in sechs Punkten und hat die Bedeu¬ 
tung, dass aus jedem ihrer Punkte irgend zwei perspective Puuktetripel der Configiiration durch eine Projec- 
tivität mit D == I projicirt werden. Die bezüglichen Doppelgeraden berühren den covariauten Kegelschnitt.“ 
1 Vergl. für die Definition solcher Collineiitionen: Clebsch und Gordan: „Über Internäre Formen mit contragredienten 
V,anabein. §. 13.“ Math. Anu. Bd. I, pag. 35;». 
2 Dieser Doppelpunkt ist der Pol der Geraden nach dem covarianten Kegelschnitte. 
3 Cf. „Über eine Gattung von Confignrationen in der Ebene und im Raume.“ (Sitzber. der Wiener Akademie LXXX Bd 
II. Abth.. pag. ß.) 
•* Ct. „Die Configurationnn (3, S),,,“ (Sitziingsber. der Wiener Akademie, LXXXIV. Bd II. Abth., pag. 121)1. II.j 
Doilk.schriften der inatJieni.-naturw, CI. XLVl. ßd. Abliandluugen von Niclitmitgliedern. 
