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S. Kantor. 
IV. 
Über das allgemeinste Netz linearer Transformationen bei verschiedenen Trägerebenen, Einige 
covariante Transformationsnetze. 
^1. Zwei Collineationen zwisclion E, E' liaben drei gemeinsame Pnnktepaarc und alle diese entlialtenden 
Collineationen, welchemit jenen zweien auf dieselbe flerade tt bringen, bilden ein Büschel.^; und ;r stehen 
m quadratischer Verwandtschaft. Wir können sagen;. Ein Büschel von Colliiicationeu ist äquivalent einer 
dualen quadratischen Verwandtschaft. 
2. Duich sieben Paare von Punkt und conjngirter Geraden ist, wie man mit Hchröter ' beweist, die 
Collineation nicht bestimmt, aber der Entsprechende eines Punktes ju auf eine Gerade k gezwungen. Zwischen 
p und K besteht jedenfalls quadratische Verwandtschaft (das Erzeuguiss zweier Collineationen). Nun hat Herr 
-Stuini“^ gezeigt, dass es in E drei Punkte in ß' drei Gerade gibt, so dass Strahlbüschel r,- 
(«,... fl,,) 71 I unktieihe v,' (a,. . «,). In der quadratischen Verwandtschaft pa- muss das von einem Hauptpunkte 
dei li, nach deren Punkten ausgehende Büschel der von der Hauptgeraden in E' auf deren Geraden ausge¬ 
schnittenen Pimktreiho projectiv sein. Daher: die drei r bilden das Hauptdreieck der E und die drei a das 
Hauptdreiseit von E'. Zugleich folgt der Zusatz zu dem Probleme der Projectivität. Die Geraden von einem 
Sturm’schen Punkte der E nach den zwei anderen ents]»rcchen in der Projectivität der Strahlbüschel umgekehrt 
den bezüglichen Verbindungslinien in E’. [Dual ausgedrückt.|'® 
3. Nachdem sich zwei verbundene Sturm’schc Elemente als correspondirende Hauptclemente einer 
(piadratischen Verwandtschaft, die enthält, gezeigt haben, kann mau von fünf Paaren ausgehen. Alle 
durch sie bestimmten Collineationen enthalten ein sechstes festes conjugiides Paar Folglich enthalten 
alle dualen quadratischen Transformationen zwischen ein seclistcs festes Paar a,,. Die Hauplpnnkte- 
paare von h, E' stehen in Verwandtschaft fünften Grades mit n,«.- als doppelten Fundamenfalpunkten res])ec- 
tive Geraden. 
Hernach bestimmen sechs Paare ein Netz von dualen quadratischen 'rransformationen und in anderem 
Sinne das allgemeinste Netz 1. T. Der Ort der Hauptpunkte in E ist eine Curve dritter Ordnung G) durch die 
cq, die Einhüllende der Hauptgeradeti in E' ist analog eine Curve dritter Classe 1'-’. 
Es bildet somit jedes kSturm’sche Tri])el mit und dem abhängigen Punkte /[. die Basis eines 
Büschels von Curven dritter Ordnung. Demnach treffen sich und/, «/£ auf der Curve. Hieraus: 
a) Sechs Punkte a und die von den Quintupeln abhängigen sechs Punkte / vcrlialten 
sich wie der Schnitt mit den zwölf Geradenpaaren einer Doppelsechs.''’ 
Wird Vy festgehaltcn, so zielt nach den Restsätzen über die G, durch einen festen Punkt r,' von Cg 
gleiclizeitig bleibt p, fest, und pg schneiden sich auf einer festen Tangente p,' von r-f Das besagt: 
b) ln jedem Collineationsbüschel, an dem r, als Grundpunkt participirt, entspricht 
ihm stets ein Grundpunkt in E', der auf p,' liegt. 
Jedes Collineationsbüschel enthält ferner drei singuläre Collineationen, in denen r und p als entsprechende 
singuläre Gebilde auftreten. Im Ganzen: 
1 Cr. B. Jotirn. LXII. Bd. pag. 224. 
3 Math. Ami. T. Bd., pag. 534. Dort findet sich eigentlicli das Duale. 
“ Auch hier lässt sich der etwas leichtere Weg eiusohlageii, dom icli in B. 111. gefolgt hin, aber ich wählte hier absiolit- 
lich diese Darstellung, um das Wesen der Stiirm’scheu Tripel autV.uklären. 
Cf. Kosancs: „Über linear-abhängige Punktsysteme.“ Ci'. Borch, J. LXXXVHI. Bd., pag. 241. 
Nach einem Satze von Kosanes, für den ich in einer Abhandlung über sucoesive Correlationen einen geometrischen 
Beweis veröffentlichen werde, sind sechs abhängige Piinktepaaro in derselben Ebene stets oonjugirte Punktepaare desselben 
Kegelschnittes, Daraus folgt bei Beachtung dos«0 bn l’exte: Die sechs Geradoupaare einer Doppelsechs werden von jeder Ebene 
in sechs conjiigirton Punktepaaren eines Kegelschnittes getroffen. Es lässt sich daraus ein Beweis für eine neuerdings von Herrn 
P. öchur bemerkte Eigenschaft der Doppelsechs herstellen. 
