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Über die allgemeinsten linearen Systeme linearer Transformationen etc. 
Zwischen den Doppelpunkten und den gegenüber liegenden Doppelgeraden der Netz- 
collineationen besteht eine duale rationale Verwandtschaft fünfter Ordnung, für welche 
die und die mit ihnen incidenten f Fundamentalpunkte, heziehlich Fundanientah 
gerade sind. Die ents])rechcnden Fundamentalcurven sind Kegelschnitte, welche J,.. .Jo, 
res])ectivc dreimal berühren.' 
Es gilt: Die sechs Punkte i und die incidenten p, sowie auch die sechs Punkte / und 
die l sind abhängige Systeme im Sinne des Herrn Rosanes. * 
Einer entspiicht in dieser Verwandtschaft eine Curve dritter Classe und da nur vollständige 
Doppelpunkttripel enthält, so folgt: 
L.j und itf'* haben solche Hage, dass es oo' Dreiecke gibt, welche der ersten Curve ein- 
und der zweiten umgeschrieben sind. Die beiden Curven berühren sich in seclis Punkten 
welche mit ihren Tangentialpunkten in demselben Tripel Vorkommen. Die übrigen seclis 
Schnittpunkte ergänzen die Schnittpunkte von und zu Tripeln. 
Wir sind hier schon bei einer dritten Gelegenheit auf zwei Curven dritter Ordnung und dritter Classe 
in solcher gegenseitigen Lage gekommen. — 
4. Nachdem Abschnitt I vorausgegangen, lässt sich nunmehr die Verwandtschaft der successiven Trans- 
.formirten von p rasch erledigen. 
Bewegt sich p' auf einer Geraden, so beschreibt die Collineation ein Büschel, jP’ü folglich nach I. 1) eine 
Curve n. Ordnung und es gibt n Collineationen unseres Büschels, die jih’ü auf eine gegebene Gerade bringen. 
Beschreibt demnach jT'D eine Gerade, so beschreibteine Curve n. Ordnung. Also: Die Verwandtschaft 
p' — p^”'^ ist —1-deutig vom n. Grade. Diese «^-punktigen Grujipen y/ sind verbundene 
Gruppen in einem Netze ÜL- 
Die ¥„ müssen dieselben merkwürdigen Eigenschaften besitzen wie die dp, aus 1 und ändern sich von p 
7A\ p. Die Betrachtungen, welche ich an die in der citirten Abhandlung geknüpft habe, und die ich hier 
nicht wiederholen will, lassen sich wörtlich hieher auf das allgemeine Netz übertragen. 
B) Lineare Transformationen im Baume. 
1 . 
Das fundamentale Gebüsch mit vier festen Punktepaaren. 
1. Ich behandle zunächst den Zusammenhang der successiven Transformirten und will einen anderen als 
den in der citirten Abhandlung, Art. 27 gegebenen, rein projectiven Beweis andeuten. 
Sind die Punktepaare na', bh', cd, dd' fest und soll p seinen p'”> auf b'dd' haben, so kann die Collineation 
entweder eine exceptionelle sein, welche a, und b' d d' zu singulärem Punkte nnd singulärer Ebene hat und in 
der alle Transformirten von p auf b'dd' fallen oder cijie solche, diepi"-’) auf bed und folglich jh’d auf h'dd' 
bringt. Entspricht also in der Beziehung p '—die Fläche <]>„_, der Ebene bed, so entspricht in 
' Dies ist nnv eine Consequenz der speoiellenLage, in welcher sicli die beiden rational verwandten Systeme hier befinden. 
2 Das Obige gibt das Material zu einem geometrischen Beweise des ßosaues’schen Satzes: Sind ans sechs abhän¬ 
gigen Paaren von Punkt und Geraden fünf Paare incident, so ist auch das sechste Paar incident. Wäre 
das sechste Paar nicht incident, so verwende mau die sechs Paare zur Constituirung eines Netzes von Collineationen. Dann sind 
die fünf Punkte die . . .f's und der sechste muss (wegen der Crem ona’schen Transformation) h und dann aber veraiöge des 
Obigen mit seiner p incident sein, qu. c. d. 
Es findet sich noch: Die sechs Punkte i haben auf Cg solche Lage, dass der mit zweien alliueirte dritte Punkt und der 
Gegeupunkt der vier übrigen beziiglieli r nnd r' sind. Anderseits haben die Punkte i solche Lage, dass h und der Scimittpunkt 
des Kegelschnittes durch die anderen i mit Cg als r und r zusammeugehören. Ferner: 
In einem Netze von Curven dritter Ordnung mit sechs festen Punkten gibt es sechs in einen 
Kegelschnitt und in eine Gerade durch je einen Punkt r zerfallende Curven. Diese sechs Punkto und 
diese sechs Geraden sind zwei abhängige Systeme. 
Denkschriften der raathem.-naturw. GL XLVI. Bd. Abhandlunj^en von Nichtmitgliedern. 
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