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S. Kantor. 
■ p'—pW (jiß a,ns h'c'd' zusammengesetzte Fläche der Ebene 1/e'd'. Dass die Flächen <I>„ ein Gebüsch 
bilden, folgt aus der Eindeutigkeit der Mannigfaltigkeitdaher: 
ji; Die Verwandtschaft zwischen p' und dem «ten Transformirten ist —1-deutig, die 
j|i Gruppen sind verbundeniii einem Gebüsche von Flächen Ordnung d»,,, das, wie folgt, 
;| construirt wird: Das Netz wird durch die vier Ebenenpaare hed, 1/<;'d'-,. ■-oIjc, a'h'c' con- 
||' stituirt; entsprechen l'^, A^, den Ebenen hcd,. . . so sind h'c'd']. . . A^, a'b'c' vier 
|i Flächen des Gebüsches d».,. Entsprechen den Ebenen hcd...ad)c in 
: ])' —so sind , //c'd';. . .A,j_i, a'h'c' vier linear unabhängige Flächen d»«. 
Das Gebüsch d*^ ist noch von der Lage des p vollständig unabhängig und die in ihm verbundenen Punkte- 
ij paare sind in den betreffenden Collineationen involutorisch, daher: 
;| Sind r, s zwei associirte Punkte in d> 2 , so gibt es eine Collineation, die r nach s und s 
i| nach r führt, und es gilt sowohl r{abcd)Ks{a'h'dd') als auch s{abcd) 7 :r{a'b'c'd!).'- 
|! 2. a) Die Geraden, welche abcd und a'h'c'd' in projectiven Punktquadrupeln schneiden, erfüllen einen 
:!! Complex vierten Grades. Derselbe hat die Ebenen von abcd und a'b'c'd' zu Ausnahmeebenen^ und enthält 
sechs lineare Congruenzen mit ab, a'b']. . . bd, b'd' als Directricenpaaren. Ebenso enthält der Complex die 
vier StrahlenbUndel a, b, c, d, und die vier a', b', c', d' und die sechs linearen Congruenzen ab, c'd'-,. . .bd, a'd] 
i| das Erstere desswegen, weil es ein Netz von exceptionellcn Collineationen gibt, welche a als singulären Punkt 
und b'dd' als singuläre Ebene haben und eine exceptionelle Collineation, welche ab, dd' als singuläre Axen 
, besitzt.'^ Da die Strahlen dieses Complexes die Doppelgeraden särnintliclier Collineationen sind, so schliessen 
sie sich zu oo'* Tetraedern zusammen. Der Complex enthält noch vier specielle Strahlbüschel. 
b) Die Geraden, welche abcd, a'b'c'd' in einer Projectivität von bestimmtem characte- 
ristischem Dopp elverhältnisse schneiden, bilden eine Strahleucongruenz der vierzehnten 
: Ordnung und sechsten Classe. Für alle Werthe von D bilden diese Congruenzen ein Büschel und haben 
j gemeinsam: 1. Die zwölf Tetraederkanten als Doppclstrahlen, 2. die von den acht Ecken in jeder der drei 
; dort convergirenden Seitenflächen üher die entsprechende Kante des zweiten Tetraeders gelegten Geraden 
i ebenfalls als Doppelstrahlen, 3. die Verbindungslinien aa', bb', cd, dd' als Doppelstralilcn und 4. die drei 
: über die Geradenquadrupel ab, a'b', cd, dd'] hc, b'd, ad, a'd'] ca, da!, bd, b'd' gelegten Transversalenpaare. 
Speciell für IJ = 0, oo tritt ein Zerfallen in die acht Strahlbündel o,. . .d' und in die sechs linearen Con- 
II' grnenzen ab, dd']. . . . ca, a'b' ein. 
Ebenso gibt es ein Büschel von Congruenzen sechster Ordnung, vierzehnter Classe, 
! deren Strahlen die Punktepaare aa', bb',cd, dd' durch eine Ebenenprojectivität mit dem 
characteristischen Doppelverhältnisse I) projiciren.'^ 
1 Die Congruenzen der ersten Art schneiden aus jeder Ebene von abcd und a'b'c'd' eine Schaar von 
Curven sechster Classe mit neun gemeinsamen Doppeltangenton aus. (A. II. 1.) 
Durch die Gleichheit der Werthe von D sind die beiden Büsclicl von Congruenzen projectiv auf einander 
bezogen und erzeugen so eine neue Congruenz, deren Strahlen die beiden Tetraeder in einer Projectivität von 
demselben Doppelverhältnisse schneiden und projicireu. (S. u. II. 8.)" 
c) Die Doppelpunkte auf den Doppelgeraden eines Complexkegels p bilden eine Raumeurve eilfter Ord¬ 
nung pjj mit einem dreifachen Punkte im Scheitel Die Curve enthält a, b, c, d, a', b', d, d', den Schnittpunkt 
l: Yoii pa mit b'c'd' und die analogen, ferner die Treffpunkte der von^ über ab, a'b '].. .bd, b'd! gelegten Trans- 
1 Dies ist beiläufig- ein kleiner Zusatz zu Sturm „Das Problem der Collineation.“ Math. Anu. Bd. X. 
ä Das bisher Gesagte über diesen Complex vierten Grades findet Herr Sturm bei Gelegenheit einer ganz anderen 
Untersuchung in Math. Ann. Bd. XI „Das Problem der räumlichen Projectivität“, p.ig. .515. Im Obigen ist besonders das Zu- 
sannuenschliessen zu Tetraedern für die S])ocialfälle -weseutlieh. 
3 Cf. „axial correlation“ des Herrn Hirst 1. c. 
Diese Strahleucongruenz hat besondere Wichtigkeit für das Gebüsch von Correlationen, wie ich demnächst zeigen 
werde; vergl. auch die Anin. über projective Rotationen des Raumes in 11. 5. 
