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Über die alhjemeimten linearen Syde-ine linearer Transformat ionen etc. 
versalen mit diesen Kanten (also auf jeder Kante einen Punkt), dies alles vermöge der unter a) erwälinten 
exceptionellen Collineationen, und auf jeder der vier Schnittlinien hed, h'c'd'\. . . .abc, a'b'c' vier Punkte. 
d) Die Doppelgeraden in einer Ebene lü umhüllen eine Curvc vierter Classe. Die Doppelpunkte auf diesen 
Doppelgeraden erfüllen eine Curve siebenter Ordnung, w.,, welche auf den Kanten von ab cd und a'b'c'd’ ein¬ 
fache, auf (ien vier Schnittlinien aeß-yd doppelte Punkte und ausserdem auf jeder Schnittlinie mit einer Ebene 
bcd,. . . ein Doppelpunktepaar liat. ‘ 
Für a) und b) wird unten in IV, 5. ein allgemeiner tiefergeheuder Beweis hergestellt. Diellichtigkeit von b) 
lässt sich mit Hilfe unserer Eesultatc aus II, 1) so einsehen: 
Die Strahlen, welche aus den Ebenenpaaren abc, a’b'c'', accl, a'c d'', adb, a'd'b' eine Projectivität von 
constantem 1) ansschneideii, bilden einen Complex sechsten Grades; cf. Art. II, 1. Derselbe schneidet den 
Complex vierten Grades aus a) in: 1. drei linearen Congruenzen ab, a'b'-, ac, a'c'', ad, a'd', die für den ersten 
doppelt sind, Classe 6 , Ordnung 6 ; 2. den sechs doppelten Ausnahmeebenen abc,. . . a'd'b', Classe 12, Ordnung 0; 
3. den beiden für den ersten Complex doppelten Strahlenbündeln a, a', Classe 0, Ordnung 4, so dass von dem 
Schnitte noch unsere Congruenz vierzehnter Ordnung, sechster Classe übrig bleibt. 
3. Die Verwandtschaft zwischen und den Doppelpunkten, C. 
a) Die Ebenenbüschel ab, a'b' sind in jeder Collineation projectiv und erzeugen ein Hyperboloid Hab 
durch ab, a'b', 7 , 0 . * Bewegt sich p' auf fester Ebene \)ab durch //, so bleibt die Projectivität der Ebenen¬ 
büschel, also auch Hai eonstant und IJa/, entspricht, da es durch die Doppelpunkte geht, in der Verwandt¬ 
schaft C der Ebene p„i. — Eine beliebige Ebene i>a durch a' bezieht ferner die Büschel a'b', a'c' perspectiv 
und die entsprechenden Büschel Hab, Hac so projectiv, dass die Ebenenpaare fb'c', abd) und fb'c', aed) 
sich entsprechen. Das Erzeugniss ist a'b'c' und eine Fläche dritter Ordnung, L«, welche 
ab, ac, ad, (aed, a'c'd'), {abd, a'b'd'), {abc, a'b'c') n) 
enthält und a zum Doppelpunkte hat sowie durch a' geht. Die L« für a'c'dt, a'b'd' a'b'c' sind {a'c'd', abc, 
abd), {a'b'd', aed, abc), {a'b'c', aed, abd). Die sechs Geraden n) geben sechzehn Bedingungen, die L« bilden 
ein Netz. Aus dem Durchschnitte zweier L« folgt: Einer Geraden durch a' entspricht im Doppelpunktssysteme 
Kiveine Eaumeurve dritter Ordnung, welche a, a' enthält, und die übrigen in abd, aed, abc liegenden Geraden 
aus n) zu Sehnen hat. Einer Geraden durch a' in a'b'd entspricht ein Kegelschnitt in a'b'c', der a! den Schnitt¬ 
punkt ad und die Schnittpunkte mit ß, 7 enthält. 
b) Um nun eine beliebige Ebene p von Pm nmzusetzen, projicire man ein Strahlbüschel s derselben aus v 
und b'. Die zwei Ebenenbüschel liefern nach a) in den Baum Riv umgesetzt, wegen ihrer Perspectivität zwei 
projective Flächenbüschel La und Xu,. Der sa!b' entsprechen in den Büscheln: Has mit bcd undHaj mit aed, wo 
Hai das der Ebene sa!b' entsjjrecliende Hyperboloid ist. Nebst Haj wird nun eine Fläche der vierten Ord¬ 
nung erzeugt, welche «*, IT, c^, d^, die Kanten des Tetraeders abcd und die Geraden a, ß, 7 , d enthält. Dies 
gibt wirklich dreissig Bedingungen, die bilden ein Gebüsch. — Aus dem Durchschnitt zweier zeigt 
man nun: 
Die Doppelpunkte eines Büschels von Collineationen liegen in einer Curve sechster 
Ordnung, D^, welche abcd enthält und a, ß, 7 , 0 zu dreifachen Sehnen hat.® 
c) Die Ebenen bcd,. . .abc sind gewdss Fundamentalebcnen für Riv. Einem Punkte a von bcd entspricht 
ein unendlich naher Punkt «' an a'. Einer Ebene durch «' entspricht so eine Curve dritter Ordnung in bcd, 
welche b, c, d und die Schnittpunkte {bc, a'b'c'), {cd, a'c'd'), {bd, a'b'd') enthält. — Alle Doppelpunkte 
auf bcd treten nur in singulären Collineationen mit bcd als singulärem Punkt und singulärer Ebene auf. 
Die Verwandtschaft a— ä', ist 3—Identig und der in I. 6 . behandelten analog. Einer Geraden in bcd entspricht 
1 Man suclit ziiniiolist den Ort der Doppelpunkte in X, die (in P>ezug auf zwei entsprechende Tripel) Doppelgcradon durch 
einen gegebenen Punkt von ü senden und stellt die Sclinittpunkte mit der w auf. 
ä Ich führe für die Schnittlinien bcd, b’ c'd'-,. . .abc, a'b' d die Bezeiohungen «, jS, y, 5 ein. 
^ Es ist das eine Nöther’sche c®, da sie der Schnitt einer La und einer Lj ist, die sich bereits in ab, a,3 schneiden. 
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