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über die allgemeUisten linearen Systeme linearer Transformafionen ete. 
Allgemeiner giit: Wenn eine Gerade die a'b' trifft, entspricht ihr nehst der abgesonderten cd nur mehr 
eine Cnrve fünfter Ordnung in Kiv. 
Für Kl sind auch noch e^ Fundamentalpunkte, so dass einer Ebene durch Sj eine durch p^ ent¬ 
spricht. Einer Geraden durch .s, entspricht nebst pj eine Curvo fünfter Ordnung, die pj zweimal trifft. Der 
Geraden Sj entspricht in R|y eine Kaumcurve vierter Ordnung erster Art, die p,, pj zu Sehnen hat und a, h, 
c, d enthält. Diese Curve läuft auch durch die vier Doppelpunkte auf und 
Geht nun durch p^, so hat in s, einen Doppelpunkt. Jener Ebene, welche p, mit einem der beiden 
Doppelpunkte auf a^ verbindet, entspricht sogar eine mit einem dreifachen e^. 
h) Für den Raum Riv sind die Kanten von ahed Fundamentalgerade, so dass, wenn eine Gerade die ab 
trifft, ihr in R[ eine Curve dritter Ordnung entspricht, die «/, h' enthält und c'd' einmal trifft, c'd' sich nehstdem 
abgesondert hat. Dabei ist das Verhalten der Fundamentalgeraden ein eigenthümliches. Geht nämlich eine 
Gerade durch «, trifft also drei Kauten, so entspricht ihr, da sie in zwei beweglichen Punkten trifft, in Ri 
immer noch ein Kegelschnitt. 
Den Geraden von welche ab, cd,.... treffen, entsprechen in lU drei Kegelschnitte, daher die A,. 
immer drei Kegelschnitte enthält. 
5. Die conjugirte Transformation % unter den Doppelpunkten von Riv. Einer Ebene 
entspricht nach der Verwandtschaft C eine A^., dieser aber rückwärts im Systeme Ibv eine Fläche 6 . 4—4. 
3 = 12. Ordnung. 15 wird somit durch eine F,, zu einer vollständigen Riv-Fläche ergänzt. Jede h' (s. 3. f.) 
schneidet A,. in drei Punkten ausser a', daher tritt jeder Punkt von a dreimal in die ein, a ist dreifach inF,j. 
Eine Gerade, welche a'b', c'd' begegnet, schneidet A^. noch in vier Punkten, die entsprechende 71^ in Riv 
schneidet folglich I<\^ = X + Fjj in 4. 4 und, da sie die «, ß, y, 4 je zweimal trifft, noch in 4. 3. 2, also über¬ 
dies nur in 12. 4—4. 4—4. 3. 2 = Punkten. Diese entfallen auf die Kanten ab, cd, a'b', c'd. Aber die I),^ 
hat diese vier Geraden zu Sehnen, sie sind daher einfach für Fjj. 
Eine Gerade durch u! trifft A^. in drei weiteren Punkten. Die ihr nach C entsprechende 7>.j durch a, a! mit 
ß, 7 , 0 als Sehnen hat folglich 3.4-]-3.3.2, also noch 3.12—3.4—3.3.2 = 6 Punkte mit der gemein¬ 
sam. Dieselben müssen auf F^, und zwar in a, a' liegen: Fj, hat a, a' zu dreifachen Punkten. Da ferner jede 
A,. E.^ enthält, so geht F^j auch durch pj, p^ und die Doppelpunkte auf a^, 
Einer 77^ in IR entsi)richt nach C eine Gerade (3.^.) und somit noch eine Curve 4.6—4.3—-1 = 11. Ord¬ 
nung. Da Ajj die Fundamentalkegelflächc von a in sechs weiteren Punkten trifft, so hat c,, die Gerade a. zur 
sechsfachen Sehne. Gleiches gilt für ß, 7 , o. Den Schnittpunkten von 7\^ mit den Ebenen von a'b'c'd ent 
sprechen die Punkte a, b, c, d einfach, den Punkten n', //, c', d' aber wieder dieselben Punkte. Die einzige 
Quadrifläche durch 77"^ überträgt sich gemäss C in eine Fläche vierter Ordnung, welche «/, IS, c^, d^, «'*, I/'^, c'‘‘‘, d'^ 
die Kanten von abed und a'b'c'd', sowie aßy§ enthält. 
Die nach 2.d) in 15 auftretende w. überträgt sich, da sie einmal die Kanten von ahed und zweimal die 
Geraden a., ß,y, d trifft, gemäss 3. g. nach IR in eine Curve v^ —4.2—(!) = 7. Ordnung durch a'b'c'd' 
und mit je einem Punkte auf jeder Kante von a'b'c' d'. Dies ist die oben (3. d) gedachte Doppelcnrve der A^. 
Dieser entspricht nun in Riv eine Curve 7.6—3.4—2.3 = 24. Ordnung, die sich aus der Curve uy 
und einer Curve siebenzehnter Ordnung d,^ zusammensetzt, welche letztere der Wj in % entspricht. Vermöge 
des in der w., enthaltenen Doppelpunktepaares der Schnittlinie von 15 mit bed geht djj durch a'. v, trifft die 
Fundamentalkegellläche von « in 2.6 weiteren Punkten (ausser 3-1 in je 1 in b', c', d' und je einem Punkte 
auf a'b', a'c', a'd'), wesshalb d,, die a. zur zehnfachen Sehne hat. Alles zusammen gibt: 
Die Verwandtschaft innerhalb der Doppelpunktsquadrupel ist so beschaffen, dass 
die ergänzenden Doppelpunkte zu den Punkten einer Ebene 15 in einer IRj liegen, welche 
a, b, c, d, a,', b', c', d', zu dreifachen Punkten hat, a.,ß,y,d zu dreifachen und die Kanten von 
abcd und a'b'c'd' zu einfachen Geraden hat. Sie enthält ferner die Geraden imd die 
Doppelpunkte auf einfach. Ausser den erwähnten Singularitäten hat sie eineDoppel- 
curve siebenzehuter Ordnung djj, die a, b, c, d, d, b', c, d' einfach enthält, a, ß, •■/, S, zu zehn- 
