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Über die nllgemeimten linearen Systeme linearer Transformationen etc. 
Futulameiitaltetraeder besitzt : Xg: ~—1. Uer vorigen Developpable gehört daher eine 
Kannicurve vierter Ordiuing zweiter Specics von p' zip welche a’, h', c', <V enthält. Somit: 
Beschreibt die Doppelehcne ein Büschel, so beschreibt p' eine der K,^ analoge Ciirve (aber anderer 
Bedeutung). 
Bei dem zur (v;.,) gehörigen Ebenenbüsehel soll p' eine Gerade h' durch «' beschreiben. Die Axe (e) muss 
eine specielle Lage haben; man sieht aus 5. und (i., dass sie nicht durch eine der Kanten von aheä gehen 
kann, so dass sie nur />//, cd, dd' schneiden muss. Alle Axen (c) bilden dann das durch hh', cd, dd' bestimmte 
Hyperboloid. — 
Zuvörderst haben wir: Trifft eine Curve von Doppelpunkten n-mal die a, so sondern sich von der 
Developpabeln der gegenüber liegenden Doppelebenen n Ebenenbüschel ab. 
Beschreibt die Doppelebene ein Bündel, so beschreibt bei fester e die d eine der A,. genau duale Fläche, 
die sich vermöge der oben erwähnten cubischen Verwandtschaft in eine Fläche A). sechster Ordnung mit 
c umsetzt. Beschreibt aber p' eine Gerade, so beschreibt der Doppelpunkt eine i),.. Diese Gerade trifft die 
A'i. in sechs Funkten, und so folgt: 
Die Doppelebenen der einer eingeschriebenen Quadrupel umhüllen eine Dcvel- 
lopable sechster Classe. 
Der die a, ß, y, d je dreimal trifft, entspricht aber eigentlich eine Developpable der 6-t-4.3 = 
18. Classe, so dass T von der dritten Ordnung und Classe ist. Denn man zeigt ebenso das Duale. So kommt 
man zu folgendem Resultat: 
Die Verwandtschaft T zwischen den Doppelpunkten und den ihnen gegenüber liegen¬ 
den Doppelebenen ist rational vom dritten Grade. Im Systeme der Doiipelpunkte sind 
cc, ß, 7 , d, im Systeme der Dojipelebenen aa',... dd! Fundamentalgerade. Einem Ebenen 
bündel des zweiten Systemes entspricht folglich eine Fläche dritter Ordnung ./,j von 
Doppelpunkten durch a, ß, y, d, 
8 . Ein bemerkenswerther specieller Fall. 
Derselbe tritt ein, wenn cc, ß, y, d hyperboloidische Lage haben. Dann sondert sich von jeder J., das 
Hyperboloid aßyd ab, es bleibt eine Ebene, die Verwandtschaft T wird einfach eine Correlation. Aber die 
Doppelpunkte, welche drei Doppelebenen eines Quadrupels gegenüber liegen, liegen in der vierten Dojipel- 
ebene, die Correlation ist eine Polarität. Dem Doppelpunkte a entspricht die Doppelebenc h'dd'. 
Die Verwandtschaft T ist eine Polarität bezüglich einer Fläche zweiter Ordnung, 
welche ohed und a'h'dd' zu polar coujugirten Tetraedern hat. 
Von der Fläche dritter Classe, welche den Doppelpunkten einer Ebene cntsiiricht, muss sich ebenso eine 
feste Fläche zweiter Classe absondern; damit ist aber der innere Grund für den bekannten Satz aufgezeigt: 
„Haben die Schnittlinien der Seitenpaare zweier Tetraeder hyjierboloidische Lage, so haben aueb die Ver¬ 
bindungslinien der vier Eckenpaare solche Lage.“ Auch folgt: 
Jede die a, a' enthält und ß, y, d zu Sehnen hat, enthält oo^ Poltetraeder der Fläche zweiter Ordnung. 
9. Ein Büschel von Doppelebenen überträgt sich nach T in eine C.j über aßyd als Seimen und entspricht 
nach R, hin einer Curve vierter Ordnung durch a', b', d, d' (s. in 7). Diese überträgt sich rückwärts in eine 
Curve zwölfter Ordnung, von der sich 0^ absondert, so dass kommt: 
Die in den Doppelebenen eines Büschels y gelegenen Doppelpunktstripel erfüllen 
eine Curve neunter Ordnung Cg, die y zur sechsfachen und a, ß, y, d zu vierfachen Sehnen 
hat und die Punkte a, b, c, d, a', V, d, d' enthält. Ebenso: 
Die in den Doppelebenen eines Bündels p gelegenen Doppelpunktstripel erfüllen 
eine Fläche neunter Ordnung il/g, welche in p, a, h, c, d, a', b', d, d' dreifache Punkte und 
a,ß,y,d zweifach, die Kanten von a.hcd und a'h'dd' dreifach enthält und p,, aus 2. c) zur 
Doppel curve hat. 
