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H. Kantor. 
Daran lässt sicli die Aufgabe knüpfen: „Es ist die Anzabl der Collineationen zu finden, welche drei 
Doppelebenen haben, die durch drei gegebene Punkte gehen,“ sowie manche andere. 
Geht die Doi)pelebene durcli a, so geht c, durch a, a', daraus folgt: Der « als Doppelgei'aden entsi)rechen 
oo‘ Collineationen, aber sie haben alle die aa' zur gegenüber liegenden Do])pelgeraden. Die in den Dop])e]- 
ebenen durch a weiters auftretenden Dopjjelpunkte erscheinen sämmtlich aut und bilden dort eine qua¬ 
dratische Involution. D. h. fällt a mit o. zusammen, so bildet die obige Curvc Cg auf ‘l.a v bc-^h'c.-^-cd-r- 
c! d' -r- db d' b' -r- aa'. — Die Ag aus 6 . enthält folglich auch aa'. 
Liegt zu einer der Tetraederebenen, etwa bed, so zerfällt Cg in bc, cd, db und eine Curve sechster Ordnung 
durch a, a', h', c', d', welche «^70 zu dreifachen Sehnen hat, a. zur zweifachen. 
Trifft die g blos eine der Kanten, so sondert sich diese Kante von der Cg ab. 
Durch Befrachtung der Schnitti)unkte von a mit p,, findet sich nun, dass auf A,. ausserdem in Art. 6 
erwähnten noch zwei andere Kegelschnitte vorhanden sind. 
Ferner folgt: 
Die von den Punkten der « ausgesandten Doppelebcnen umhüllen eine Fläche vierter 
Classe, die a. zur Doppellinie hat. 
ir. 
Das Problem der covarianten Collineationen. Auf die Doppelgeraden bezügliche liniengeometrische 
Probleme. 
Im Folgenden ist das Problem derCollineationabzählung mittelst gewisserörter und Developpabeln gelöst 
und unter Anwendung von Schlussweisen, die auch princi])ielles Interesse zu erregen geeignet sein dürften. 
1. Die ^ wird von der ihr nach 2 : entsprechenden F,j Inder und daher noch in einer getroffen, 
welche der Schnitt mit der Jacobiana des Gebüsches sein muss, muss dreifach die «, ß, 7 , d 
treffen, trifft sie schon zweimal, daher einmal: 
Der Ort der Doppelpunkte, die mit einem ihrer conjugirten zusammenfallen oder die 
Jacobiana des Gebüsches oder der Ort der Doj)pelpunkte auf den Do])pelgeraden, die 
das Doppelverhältniss 1 tragen, ist eine Fläche vierter Ordnung die a, ß, 7 , 0 einfach 
enthält. 
Die ihr conjugirte Fläche wird gemäss B. I. 5. von der 4. 11-—4. 6—4 = 16. Ordnung sein. Jede 
trifft die !q^ in vier freien Punkten, daher 3^,. die a vierfach enthält. Qj,. trifft die Ebene bed jedenfalls noch 
in der |)g oder ]i^ des in bed eutstajidenen Tripelsystemcs, welche Do])pel])unktc auf afb', a! d, a'd- hat. Setzt 
man wieder in 2 um, so entsteht zunächst eine Fläche der 72 ( 1 ^’ ^ ^^~ 
nung; da dies 8 sein soll, muss a? = 6 sein. Daher: 
Die Doppelpunktepaare der Doppelgeraden, wclclic Ebenenprojectivitäten vom Doppel Verhältnisse 1 
tragen, bilden eine Fläche sechzehnter Ordnung durch . . .d''’, welche a, ß, 7 , d vierfach und die Kanten 
der Tetraeder ab cd, a'b'dd' doppelt enthält. 
Die Curve, in welcher die S trifft, überträgt sieb durch C in eine Curve der zwölften Ordnung T,g, die 
selbst aber in eine Fläche zwölfter Ordnung, welche a'b'dd! zu vierfachen Punkten und die Kanten von 
a'b'dd! zu Doppelgeraden hat, 
Die Flächen \ berühren alle die feste Fläche llj^ längs einer variablen Curve zwölfter Ordnung r,j, die 
a!'*b"^c"*d!’^ enthält. 
2. Aus der oben erklärten Bedeutung der schliesse ich nun: 
Der Ort der Doppelpunktepaare aller Doppelgeraden, welche Träger einer Projec- 
tivität von constantem 1) sind, welche also die Ebenenpaare von abcd und a'b'dd! in einer 
Proj ectivität von constantem J) treffen, ist eine Fläche achter Ordnung, Xg, die cc^ ß^ 0 ^ 
enthält. Alle diese Xg treffen eine J'etraedcrebcnc in einer Curvc Aj, des dort nach A. I. 6 . entstehenden 
