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S. Kantor. 
Der Ort der Doppelpiniktcpaare auf jenen Doppelgeradeii, die dasselbe Doppel- 
yerliältniss D in Punkt- und Ebenenprojectivität tragen, ist eine Curve 48. Ordnung, die 
a, ß, 7 , d in je 24 Punkten trifft und auf jeder der zwölf Tetraederkanten vier Doppel¬ 
punkte be sitzt, 
?j. Zwei Xg schneiden sich in einer Curve 8 . 8 —-4.4 = 48. Ordnujig. Dieselbe muss in zwei entsprechend 
den Combinationen und zerfallen. Daher: 
J /p 
Der Ort der Doppelpunkte, von denen aus zwei Dop])elgeraden mit gegebenen 
Doppelverhältnis sen 1)'^ der Punktprojectivitäten ausgehen, ist eine Curve 24. Ordnu ng, 
die a, ß, 7 , ^ in je zwölf Punkten trifft, 
Die trifft eine dritte Xg in 8 . 24—12. 4. 2 = 96 weiteren Punkten, die in zwei Gruppen von je 48, 
entsprechend den Combinationen Dp, Dp, Dp, und Dp, D'p j-,, zerfallen. 
J‘p 
Man kann aber eine Collineation als vollständig definirt anschen, wenn man auf drei gegen eine 
Ecke des Doppelpunktquadrupels convergirenden Dop[)elgeraden die Doi)pelverhältnisse der Projcctivitäten 
kennt. Man leitet daraus die Dp für die Gegenkanten her und hat sofort auch die D^. Eine Collineation im 
Raume hat daher nur drei absolute Invarianten. Daher: 
Es gibt in unserem Gebüsche von Collineationen nur 48 Collineationen mit gegebenen 
characteristischen Doppelverhältnissen, also derselben Art. 
Die 0,2 schneidet eine Xg nur in 48 weiteren Punkten, die jedoch nicht in zwei Gruppen zerfallen; denn 
tragen respective die Doppelverbältnisse Dp,Dj', D'p, so tragen die Doppel¬ 
verhältnisse 7>'', DpD'p, DpD'-\ Tragen aber ^,^ 2 , ^,<4 die Do])pelverhältnisse Dj\ Dp, D'p, so erscheinen 
auf < 3 ^ 4 , ^ 4^2 jetzt 71^^, Dj' D'p, D~^ Das ist aber dieselbe Collineation; demgemäss: 
Sind von den Doppelverhältnissen zwei nicht gegenüber liegende einander gleich, so 
gibt es immer noch 48 zugehöriger Collineationen. 
Es sei tif 2 ^. 3^4 Doppelpunktsquadrupel, trage Dp, aber D'p-, dann tragen ein /)„ und ^ 2^4 
ein D'„ somit ist ein Punkt DeDj.. Dagegen ist ein Punkt DpD'e und ein Punkt D'pD^. 
Setzt man nun *<24 durch % um, so kommt eine Curve 24. 11—12. 4. 3 = 12. 10. Ordnung. Von dem 
Orte 120. Ordnung ist eine Curve u^,, abzuzählen und die übrig bleibende Curve zerfällt in zwei Curven 
24. Ordnung. Demnach: 
Der Ort der Doppelpunkte, von denen aus zwei Doppelgeraden mit Dp und D’e aus¬ 
gehen, ist eine Curve 24. Ordnung mit sc, ß, 7 , 0 als zwölffacheu Sehnen, 
Ein specieller Fall hievon ist ^24 3. Wird der Schnitt von Xg mit einer beliebigen gesucht, so 
bleibt frei die Ordnung 8 . 16—4. 2. 4 = 6 . 16. Diese Curve zerfällt in zwei für Dp, D'e und Dp, ^ und in 
eine Curve 48. Ordnung, für die gilt: * 
Der Ort der Doppelpunktepaare jener Doppelgeraden, welche die Doppel Verhält¬ 
nisse Dp und D' tragen, ist eine Curve 48. Ordnung, welche u, ß, y, § zu 24fachcn Sehnen 
und auf jeder Tetraederkante vier Doppelpunkte besitzt. 
Sind in einem Doppelpunkte t die Doppelverhältnisse 77^, D'e, D’e vorhanden, so tragen die Gegeidcanten 
Dp, D'p, D'p, aber es ist in der Ebene Dp. D'p. D'p = 1, daher: 
Die Schnittcurve zweier zerfällt in zwei Curven 72. Ordnung. Durch jede derselben 
geht eine dritte Ferner: 
Die Punkte, von denen aus die Eckenpaare aa',...(ld' durch collincare Strahlenbündel 
von gegebenen characteristischen Dop])elverhältnissen A, g, v (Agv = 1) projicirt werden, 
erfüllen eine Curve 72. Ordnung, welche a, ß, 7 , rl zu 36fachen Sehnen hat und 12 fach die 
Punkte «,... d' enthält, m^ 2 - 
Diese Curven bilden ein lineares co^-System im Raume, durch jeden Punkt geht nur eine Curve. Ich 
will dieses Mal auch das duale Resultat aus.sprechen: 
