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Über die allgemeinsten lineaeen Systeme linearer Transformationen (tc. 
Die Ebenen, welclie ahcd, a'h'c'd' in collinearen Systemen schneiden, deren drei characteristisclie 
Doppelvcrhältnisse gcg’cbene Werthc liaben, nmhiillen eine Developpable 72. Classe, die ««', bb', cd dd' zu 
döfaclicn Axen und die Ebenen von ahcd, a'b'dd' zn 12faclicu Ebenen bat. 
Sind zwei von den Doppelveriiälfnissen gleich, so tritt an die Stelle von die schon oben genannte o'.j,.. ' 
4. Von besonderer Wichtigkeit ist cs, den Schnitt von mit zn nntersnehen. Derselbe muss sich in 
zwei Thcile sondern. Der eine, y, ist der Ort der l’nnkte, in denen je drei Dop])elpiinkte desselben Quadrupels 
coincidircn. Längs ihrer haben nnd g,,. immer drei nnendlich nahe l’nnkte gemeinsam, die nicht 
allineirt eine Deriihrungsebene von bestimmen, berühren sich also. Die andere, z, enthält die Doppelpunkte 
Jener Quadrupel, in denen zweimal zwei conicidiren. 
Die conjugirte Curve von y muss die Doppelcurvc von sein, eine Ihre conjiigirte Curve bekommt 
die Ordnung (36. 11—18. 4. 3—8. 6 . 3) : 3 = 12. 
und berühren sich längs einer Curve zwölfter Ordnung, y^^, welche a, j3, 7, d 
zu so chsfachen S ehnen hat und in jeder Ebene bcd,.... a'h'd die sechs Punkte (p),. (A. II. 2) 
enthält. Sic ist der Ort der in ihren Collineatiojicn dreifach zählenden Doppelpunkte. 
Der übrige Schnitt ist von der Ordnung 24. 
Der Ort der Punktepaare, von denen jedes zweimal gezählt ein Quadrupel vorstellt, 
ist eine Curve der Ordnung 24, die a, ß, 7, S zu zwölffachen Sehnen hat und auf jeder 
Tetraederkante zwei Doppelpunkte besitzt, Die Curve ist vollständig sich selbst 
conjugirt. 
Die Ogg der trifft die in weiteren Punkten, in deren jedem alle vier Dop])elpunktc co'incidiren. 
Die hat hier drei unendlich nahe Punkte mit gemeinsam nnd osculirt sie. Die a, ß, 7, 0 absorbiren 
4. 18 Schnittpunkte, so dass (4. 36—4. 18) ; 3 die gesuchte Zahl ist. 
Es gibt im Gebüsche vierundzwanzig Collineationen, in denen alle vier Doppelpunkte 
col'ncidiren. Diese vierfachen Dop])elpunkte sind Osculationspunkte von mit und 
Doppelpunkte der 
5. a) Es ist oben eine Curve 0,2 für die Punkte Dp gefujuden worden. Für alle Werthe von D erhält 
man so oo^ Curven, die eine Fläche erfüllen. Sie schneidet ATg in deren Doppelcurvc ‘'■^cr ausserdem 
in einer Curve d, deren Punkte zwei gleiche ]),, und als drittes das der tragen. 
Eine trifft die Aj, in 12. 8 — 6 . 4. 2 = 12. 4 freien Punkten. Daher schneidet ö' eine pi 48 Punkten 
ron deren Dopi)elcurve, also insgesammt in 96 Punkten, somit ist 96-j-4. 2x — 8 re, wenn x die Anzahl der 
Punkte von d' auf a,. . .0 ist. Überdies gilt n = 2x wegen T, somit n = 24, x — 12. Für U‘‘ gelten nun die 
Gleichungen 
2 . 12-(-24-r-8x = 8 « und w = 4x, 
woraus n = %, x = 2 . 
Der Ort der Doppelpunkte, welche zwei Doppelgeraden mit gleichem Punktdoppel¬ 
verhältnisse aussenden, ist eine Fläche achter Ordnug Uf durch ßT, 7 *, dL Sie schneidet 
jede Tetraederebene in der Curve dritter Ordnung aus A. II. 4. lusgleichcn enthält sie die 
Schnittlinien je zweier Ebenen von abcd und a'b'dd'. ^ 
Es kann auch direct gezeigt werden, dass die Dg die a,. .d zu Doppellinien hat. Von einem Punkte z 
auf a gehen 14 Strahlen einer Congruenz Dp aus, sechs davon fallen in die Ebene bcd, sechs in die El)enc 
b'd d' und die zwei übrigen müssen auf den Kegel zweiten Grades entfallen, der die (u),; aus u projicirt. Diese 
Strahlenpaare bilden an dem Kegel eine Involution. Die Endpunktepaare auf (zjg bilden demnach ebenfalls 
eine Involution, und ilire Verbindungslinien erfüllen eine Fläche zweiter Ordnung Anderseits bilden die 
den u ergänzenden Doppelpunktstripel eine cubische Involution, deren Tripelebenen ein Büschel bilden, dessen 
1 Cf. die citirte Abliandlung 29 und auch IV. 6., wo die succcssiven Transformirten zur llerleitung augewendet werden. 
=2 Die Curve 5'trifft jede dieser Sclinittlinien in vier Punkten. 
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