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Uber die allgemeinsten linearen Systeme linearer Transformationen de. 
e) Trägt eine Doppeigerade f, die Dopjielverliältnisse Dj,.De, so gilt dasselbe für und (vergl. 5. «) 
in dem Qua.drui)el crsclieint nocli ein weiteres Taar solclier Doppclgeiadcn. Es liandelt sieb nun uni den Ort N 
aller dieser Doppelpuuktsquadrupel. Die zu r, von a gehörige ( 1^)3 trifft in zclin freien Punkten, von denen 
zwei aut die von r, ausgehenden Dopjielgcraden />,, entfallen, es erscheinen demnach auf (r/Pj vier weitere 
Doppelpnnktpaarc mit J)^,. So entsteht in dem Ebencnbiischel, das die Doppelpunktstrijiel jirojicirt, eine 2 —4- 
deutige Verwandtscliaft, von deren sechs Coincidenzen je zwei auf ein Quadrupel entfallen, n ersclieint dreimal 
in der Ortsfläche, deren Ordnung n= 12 hieraus folgt. Man kann auch anders Vorgehen: 
Oehen alle vier Punktepaare in Dopiielpunkte über, so erhält man als Ort der zu N gehörigen p' drei 
Fläclien zweiter Ordnung, also insgesammt eine Fläclie sechster Ordnung. Die Ordnung im allgemeinen Falle 
ebenfalls gleich sechs gesetzt lehrt, dass im Büschel sechs Collineationen dieser Art enthalten sind. Ist 2 ; die 
Vielfachheit von N in a, so gibt nun />,,: 24^-41 ~hV2x = 6 »., ferner die Umsetzung in %: 8n — 24x —82 = 0 
oder n = 3x-i-z. Dies mit 4x = n liefert x = z und hiemit 6;* = 1 6x-h24, welches n = 12, x == 3 gibt. Da 
die alle auf den Tetraederkanten Doppelpunkte haben, schliesst man, dass diese Kanten Dop])ellinicn für 
N sind.'Der übrige Schnitt mit einer Tetraederebene zerfällt dann nothwendig in drei Gerade, Schnittlinien mit 
drei anderen Tetraederebenen. 
Die Njj schneidet nun eine ausser der in einer Curve 24. Ordnung, welche der Ort jener 
Doppelpunktsquadrupel ist, von deren drittem Paare Dop])elgeraden eine das Dopi)elvcrhältniss Jf, trägt. 
Der Ort der Doppelpunktsquadrupel in denen Paare gegenüber liegender 
Doppelgeraden mit gleichem D^, auftreten, ist eine Fläche zwölfter Ordnung, welche 
die Tetraederkanten doppelt, a, j3, 7 , 0 dreifach und die Schnittlinien der nicht 
entsprechenden Tetraederebenen einfach enthält. Sie hat die Ecken der Tetraeder zu 
dreifachen Punkten. 
5 «.) Die Pesultate des vorigen Artikels finden eine nächstliegende bemerkenswerthe Verwendung. Eine 
Fläche zweiter Ordnungkann bekanntlich durch 00 *’ räumliche Collineationen (H e r m i t e ’ s c h e S u b s ti t u ti 0 neu) 
in sich selbst übergeführt werden. Dabei gibt es zwei Arten: Die eigentlichen bewahren die Erzeugenden¬ 
systeme, die uneigentlichen vertauschen sie. 
Es ist aber wichtig, zu erkennen, durch welche bestimmte Beziehungen zwischen den absoluten Invarianten 
eine gegebene Substitution characterisirt sein muss, wenn sic überhaupt im Stande sein soll, eine und dann gleich 
00 Flächen zweiter Ordnung in sich selbst überzuführen. 
E i g e n 1 1 i ch e S u b s t i t u t i 0 n e n: Die muss jedenfalls zwei Gegenkantenpaare des Doppclpunktstetraedcrs 
enthalten. Sind C, n die Schnittpunkte einer Erzeugenden mit Q, r/ die der entsprechenden Erzeugenden 
mit denselben Kanten, so müssen gemäss der projectiven Erzeugung die Doppelverhältnisse (t, ^ P), 
Ti rj') gleich sein. D. h. Soll eine Collineation im Stande sein, eine unter Bewahrung der Erzeugendensysteme 
in sich selbst zu überführen, so müssen die Punktdoppelverhältnissc auf zwei Gegenkanteupaaren gleich ausfallen. 
Somit sind die Doppelpnnktsquadrupel aller eigentlichen Substitutionen unseres Gebüsches auf der vereinigt. 
Durch Übertragung in den Baum Bi wird aus eine Fläche (12. 6—4. 3. 3—4. 3): 3 == 8 . Ordnung, 
woraus das nützliche Besultat: ln jedem Büschel von Collineationen gibt es acht eigentliche 
llermite’sche Substitutionen. 
Uneigentliche Substitutionen: Die eine Erzeugendenschaar muss nach beiderlei Bichtungen in 
die zweite übergeführt werden. Zwei projective Begelschaaren auf derselben Begelflächc erzeugen aber einen 
Kegelschnitt auf der Fläche; so entstehen zwei Kegelschnitte. Dieselben müssen, wie der genauere Verfolg 
zeigt, involutorisch in einander transformirt werden. Die Schnittlinie ihrer Ebenen muss eine Doppelgeradc 
sein. Die Schnittpunkte derselben mit sind Doppelpunkte und die Berührungsebenen von in Z,, 
sind Doppelebenen. schneidet daher die Ebene Z, Z 3 Z 4 wie Z^Z-jZ,, in zwei Geraden durch Z, oder Z^, die 
bezüglich zu Z, Z 3 , Z, Z^ oder Z^Z.j, Z^Z^ involutorisch sind. In jeder der beiden Doppelebenen Z, Z 3 Z 3 , t^fU% dagegen 
entsteht ein Kegelschnitt, der in sich selbst transformirt wird. Dann müssen aber (cf. A. II. 2. 3.) die Punkt¬ 
doppelverhältnisse auf ZjZg und sowie auf Zj Z^ und Z^Z^ gleich sein. Daher: Das Doppeltetraeder 
