über die allgemeinftten linearen Systeme linear er Transformationen etc. 1 I 1 
Doppelpunkten mit StralilbUndelcollineationen gleicher Art ausgehenden Doppelgeraden erfüllen eine Kegel- 
tläclie 144. Grades. 
Die W.J schneidet in 12. 7—4. 6 —12. 2 = 36 freien Punkten. Von diesen 18 Doppelgeraden sind 
sechs Doppelgerade wesentlich von den anderen verschieden. Ebenso schneidet p,j die in 11. 32—8. 
3—4. 3. 4—12. 2 = 36 freien Punkten, wobei wieder die Theilung eintritt, so dass gilt: 
Die Doppelgeraden, welche dasselbe Ebenen- und Punktdoppelverhältniss tragen, 
bilden eine Strahlen congruenz sechster Ordnung, sechster Classe. Die übrigen vier in 
diesen Quadrupeln vorh andenen Doppelgeraden bilden eine Strahlencongnienz zw'ölftcr 
Ordnung, zwölfter Classe. 
Die erste dieser Congruenzen habe ich bereits I. 2. h erwähnt. In dem Complexc vierten Grades sämmt- 
licher Doppelgeraden ist eine eindeutig-umkehrbare Verwandtschaft zwischen den Gegenkantenpaaren der 
Doppelpunktsquadrupel vorhanden. ‘ In dieser Verwandtschaft sind die beiden letztgedachten Congruenzen 
sich selbst zugeordnet. 
Wichtig ist ferner, dass sich stets a und rw', ... d und rW' zugeordnet sind. Das Do])pel])unkte])aar auf 
a,. .0 bleibt dabei fest, das auf an! beschreibt eine Involution. 
Ebenso sind die Kantenpaare ab, c'd'; . . . er/, a'h' einander zugeordnet. 
f). Schon in I. 7. wurde gezeigt: Beschreibt die Doppelebcne ein Büschel, so beschreibt^/ eine der /Q 
analoge Curvc. Die Doppelpunktscurve zerfällt gemäss T in eine Curve dritter Ordnung der gegenüber liegen¬ 
den Doppelpunkte und eine Curve neunter Ordnung. Da jede Ebene des Büschels selbst drei Doppelpunkte 
trägt, so folgt: 
Es geschieht sechsmal, dass ein Doppelpunkt und gleichzeitig eine von ihm aus¬ 
gehende Doppelebene mit einer gegebenen Geraden y incident sind. 
Man findet noch: 
Die Doppelpunktetripel in den Doppelcbenen eines Büschels erfüllen eine Fläche 
neunter Ordnung, die a*, 7 ^, 4^ die zwölf Kauten der Tetraeder dop])elt und die Tunkte 
o, b, c, d, a', b' d d' sechsfach enthält. 
10. Mannigfache andere, die Doppelgeraden betreffenden Probleme lassen sich hier stellen, aher für die 
Beantwortung aller ist im Vorhergehenden das Fundament gelegt worden. Dies wird besonders dann klar, 
wenn man erwägt, dass alle covarianten Beziehungen an Collincationen sich durcli Beziehungen zwischen den 
Dop))elverhältnisscn auf den sechs Doppclgeraden aii.sdrücken lassen. Unter den zahlreichen interessanten 
Specialuntersuchungen hebe ich nur jene hervor, wo 1, 2, 3, 4 feste Doppelpunkte statt der Punktepaare 
eintreten. 
III. 
Das allgemeinste Gebüsch linearer Transformationen zwischen zwei Räumen R^. Zugeordnete Verwandt¬ 
schaften und Verwandtschaftsgebüsche. 
1. Zwei collineare Beziehungen zwischen zwei Räumen 11, R' besitzen stets vier gemeinsame Pnnktepaare. 
Entsprechen einem Punkte p von ß die Punkte p',, 7 /^ von//', so bestitnmen p\p\ einen Complex zwmiten 
Grades. Jede Collineation, welche dieselben festen Punktepaare (3,/;„. . . besitzt und den Transformirten 
von 7 ) auf die Gerade 7/, p '2 bringt, bringt denTransformirten jedesif-Punktes auf die zugehörige Complexgerade 
von W. Ich uemle diese 00 * Collineationen ein Büschel. 
2. Drei collineare Beziehungen zwischen ß, ß' geben in derselben Art, wie man dies von den Curven lier 
kennt, Anlass zur Bildung von cxD^-Büscheln von Collineationen. Dann kommt man auf eine geschlossene 
Mannigfaltigkeit von 00 * Collineationen, von der ich sage, dass sie ein Netz bilde. Jeder Punkt von R traus- 
J Es ist eine involutoilsclie Vcrw.andtscliaft nntor Elonientenpaaren oinor (Irei-diinoiisionaleii Mjiniiigfaltigkeit vierten Grades. 
