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S. Kantor. 
formirt sicli jetzt in irgend einen Punkt einer ganzenEbenc k. Die Ebenen n- stellen mit den Punkten p in cubischer 
Verwandtschaft, für welche es in Ji eine Fundainentalcurve P’ und in />" eine Fundamentaldevelopiiable e\, gibt. 
Jedes Punktes von cS' Transformirte sind nur auf einer Geraden vereinigt und diese ist dreifache Axe von e\.. 
Ein sohdier Punkt mit einem Transformirten hestimmt noch keine Dollineation, sondern nur ein Büschel. 
Die Punktquadrupel ß aller Büschel des Netzes sind auf c*’ und die Ebenenquadrupel der vier Punkte h in 
R' sind an vereinigt. 
3. Man kann aus vier Collincationen R, R' auf demselben Wege wie bei den Flächengebüschen’ ein 
Gebüsch von Collineationen hersteilen. Es entstellt dann eine geschlossene Mannigfaltigkeit von o<j'* 
Collineationen, in welcher oo'‘Büschel und oo® Netze enthalten sind. Einem beliebigen Punkte p von R 
macht das Gebüsch die sämmtlichen Punkte von R' entsprechend. 
Es gibt^ eine Fläche vierter Ordnung in R,, R\, deren Punkte ihre Transformirten nicht beliebig im Raume^ 
sondern auf bestimmten Ebenen vereinigt liaben. Diese Ebenen umhüllen eine Fläche vierter Classe in R'. 
Den oo’’ Netzen des Gebüsches (den oo^ Ebenendes Raumes Rß welche p zugewiesen sein können) entsprechend, 
muss F eine oe’-Schaar Nöther’scher c” enthalten, welche Fundamental-c'’ der cntspreclienden cubischen 
Verwandtschaften sind. 
4. Ich will nun einen anderen (auch hei höheren Transformationen zulässigen) Weg zur Ilerstellung des 
allgemeinsten Gebüsches einschlagen. 
«) Das Gebüsch mit vier festen Punktepaaren ist vollständig nntersueht. Beschreibt der einem festen 
Punkte p entsprechende p' eine Gerade, die Collineation ein Büschel (siehe 1), so beschreibt auch der zu q 
gehörige q' eine Gerade: Die Verwandtschaft zwischen 5 -' ist eine Collineation. In dem Büschel gibt es vier 
singuläre Collineationen, deren singuläre Punkte ß^ß^^ßv singuläre Ebenen hingegen 1\, 11^,13^ in R' sind. 
^•'.n Dojipelpunkte der Collineation jo'— q'. Dies gibt nun: Vier feste Punktepaare und die 
Angabe dreier Punkte, die auf bestimmte Ebenen gebracht werden sollen, bestimmen eine Collineation eindeutig. 
h) Sind nun drei Punktepaare ßh und drei Elementenpaaro gegeben, so bestimmt jedes weitere 
Punkte])aar eine einzige Collineation. Nehmen wir zwei solche Collincationen und verbinden alle Paare j>',, 
die einem Punkte jo entsprechen, durch Gerade, so bilden diese Geraden einen Strahlenconqdex zweiten Grades. 
Dieser Complex bcstimrat bezüglichein Büschel von Collincationen, die sämmtlich den Bedingungen genügen. 
Wir haben so ein im Systeme enthaltenes Büschel von Cidlincationcn erhalten und p' q' stehen jedenfalls in 
collinearer Beziehung. Wie in e) zeigt man auch hier, dass das System ein Gebüsch ist. Zuvörderst scldiesscn wir: 
Drei feste Punktepaare und sechs Elemcntcnpaarc bestimmen eine Collineation eindeutig. Jedes Büschel 
des Gebüsches hat ein viertes Paar entsprechender Punkte fest ßj>^. Die Punkte, welche dem ß^ und q in den 
Collineationen des Gebüsches entsjirechcn, stehen inCollincation; in dieser kommt cs vor, dass ein Punkt, einer 
ganzen Geraden entspricht, dieCollincationmuss singulärsein, die singuläre Ebene (des Raumes R') geht durch/P. 
Somit: Einem Punkte ß'* entsprechen nur Punkte einer bestimmten Ebene. Erbestimmt mit einem Punkte dieser 
Ebene erst ein Büschel, also 00 ^ Büschel. Da es aber 00 * Büschel im Gebüsche gibt, wird es Punkte ß‘' in 
R geben. Dieselben sind als feste Punkte für die 00 * Büschel identisch mit den singulären Punkten der in den 
Büscheln und somit im Gebüsche enthaltenen singulären Collincationen. 
c) Sind nunmehr zwei feste Punktepaare und sechs Elemcntcnpaare gegeben, so hestimmt nach b) jedes 
weitere Punktepaar eine einzige Collineation. Das aus zwei Collineationen construiite Büschel ist wieder ganz 
im Gebüsche enthalten und man findet wie vorhin: Die zwei Punkten p, q entsprechenden p', stehen in 
collinearer Verwandtschaft. Hieraus folgt zuvörderst: 
Zwei feste Punktepaare und neun Elementenpaare bestimmen eine einzige Collineation. 
1 Cf. Reyo, Cooraetrio der Lago, TL Thoil. 
2 Nach Cromo na „Geoinetrisolie Theorie der Oberflächen“ 1.38, Dort finden sich (für den allgemeinen Fall) auch die hier 
imtersnchten Curvensysterao bereits angodentet. Eine libertragnng des dortigen Godankenganges findet mau in einen neuerdings 
eischienonen Aufsätze von F. Sclinr, Maih. Ann. 18. Md., p. 1. wo mich aiiilei'cr Iviclitiiiig mancherlei Neues anzntreffen ist. 
