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Über die a.ll(jem.einsten linearen System-e linearer Tra,mfornudionen etc. 
(1) Dem zufolge lässt; sicli ein Gebüsch mit einem festen Punktepaare und neun Elementenpaaren 
construireip aus dem man wie bisher stets schliesst: 
Ein festes Punktepaar und neun Elementenpaare bestimmen eine einzige Collineation. 
e) Wir sind nunmelir bei dem Gebüsche angelangt, dem zwölf feste Elementenpaare zu Grunde liegen. 
Ein Paar entsprechender Punkte pp' bestimmt nach d) eine Collineation. Zwei Collineationen bestimmen ein 
Büschel, dessen sämmtliche Collineationen in dem Gebüsche enthalten sind. Nehmen wir irgend vier Collinea¬ 
tionen, die den Bedingungen genügen und construiren aus ihnen nach 3. ein Gebüsch von Collineationen, so 
haben alle Collineationen desselben die zwölf festen Elementenpaare, befriedigen demnach unsere 
Bedingungen. Die Identität der beiden oo^-Systeme ist nachgewiesen. 
Ganz wie in h) schliesscn wir nun, dass jeder Punkt [5" auch singulärer Punkt einer singulären Collineation 
des Gebüsches ist. ’ 
Der Ort der Punkte in R, welche als Quadrupel fester Punkte eines Büchels auftreten können, ist eine 
Fläche vierter Ordnung, Diese Punkte sind geichzeitig die singulären Punkte aller cxd* im 
Gebüsche enthaltenen singulären Collineationen und auch jener Punkte, denen nicht 
beliebige Punkte von R’, sondern nur Punkte einer bestimmten Ebene entsprechen 
können. Jedem j3, als singuläretn Punkte, entspricht eine singuläre Ebene B von R' und 
eine feste Ebene nach der anderen Beziehung, C. Die Ebenen B und G umhüllen in R' 
eine Fläche vierter Classe <1>*. 
Im Gebüsche a) zerfällt in vier Ebenen, <I>* in vier Punkte; bei b) in die Ebene ß^ß^ß^ und eine 
mit Doppelpunkten in /3j, ß,^, ß^, <!>* in die drei Punkte und einen vierten Punkt bei c) ist F^ eine 
Fläche vierter Ordnung mit ß, ß^ als Doppelgeraden und ßj, ß^ als dreifachen Punkten, <]>“ zerfällt in die Punkte 
/>,, />2 und eine Fläclie zweiter Classe durch b^h^] bei d) hat F^ in ßj einen dreifachen Punkt, <1>* zerfällt in 
b und eine Fläche dritter Classe. In allen Fällen d) bis e) geht durch die Punkte in R', welche in die 
Elementenpaare eintreten, <I>'^ berührt die zugehörigen Ebenen.^ 
5. Es bestehen also zwischen F^ und <b* zwei wichtige ein-eindeutige Beziehungenß-Jl undß-C. Wir haben 
ferner auf F^ ß-Quadrupel und ihnen entsi)rechend an <1>* iI-Quadrui)el erhalten. 
Den oo''* Netzen entsprechend, folgt; Die Punkte ß entsprechen den Ebenen C in oo-* 
cubischen Verwandtschaften. Jede derselben besitzt im Raume R eine Fundamentalcurve b® und die F^ 
enthält oo-^ Curven I/’. Je zwei davon schneiden sich in vier Punkten eines ß-Quadruj)els, Duales findet an <]>'‘ 
statt, wo man oo^b'g erhält. 
6. Durch fünf Collineationen wird ein ooVSystem, durch sechs ein oo^’-System construirt. Im ersteren 
findet sich eine Curve zehnter Ordnung des /?, deren Punkte ihre sämmtlichen Transformirten auf bestimmten 
Ebenen haben und im zweiten gibt cs nur noch 20 Punkte dieser Art. 
Bei 1 
Coli. 
entsprechen oo^ 
(allen) P. 
OO® 
feste Ebeneuj 
keinem Punkte 
eine 
sing. Ebene. 
Beim oo* 
Syst. 
oo“ 
P. 
OO* 
jj 
4 Punkten 
1 
77 
oo* 
CXD® 
1 
}} 
OO* „ 
1 
77 
CXD* 
V 
oo^ 
I 
OO® „ 
1 
77 
OO* 
oo^ 
1 
OO» „ 
1 
77 
OO''’ 
20 
1 
77 
OO» „ 
1 
77 
7. Wir übertragen alle diese Betrachtungen in dualer Umformung auf die linearen Transformationen 
zwischen ungleichartigen Räumen und verwenden für F^ und <b* den Namen „conjugirtes Flächenpaar“. 
1 Ich gab oben nur in grossen Zügen die wichtigsten Momente für die llerstellnng eines geometrischen Weges >an. Das 
Gegebene lässt eine weite Ausdehnung zu. 
^ Man vergl. für diese Örter .Sturm’s ausgezeichnete Abhandlung; „Oii correlative Pencils“. Proc. of the Lond. Math. 
Soc. Vol. VIII. 99. 100. 
Denkschriften der mathem.-naturw.Gl. XLVi.Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliederni* 
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