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8. Kantor. 
8. Covariantc Verwandtschaften und Vcrwandtsohaftsgcbiische des gegebenen 
Gebüsches. 
a) p'—q. Es sei in Ä ein fester Punkt p, in 7?'ein fester Punkt gegeben. In jeder Collineation des 
Gcl)Usches entspriclit dem p ein p', dem q' ein q. Bewegt sich p' in einer Geraden, die Collineation in einem 
Büschel, so beschreibt q' eine Raumeurve dritter Ordnnng^ durch ß^ß^ß.^ß^. Bewegt sich ji/ in einer Ebene, so 
beschreibt 2 ''eine Fläche dritter Ordnung. Die Verwandtschaft ist umkehrbar vom dritten Grade. 
Von q' geht an d»* ein Kegel vierter Classe. In einer singulären Collineation, welche eine dieser Ebenen zur 
singulären Ebene hat, entspricht dem p ein Punkt der Ebene, dem cjß eine Gerade. Nimmt man ferner eine 
dieser Ebenen als G, so entspricht ihr auf ein gewisser Punkt ß, ß q' bestimmen ein Büschel, in welchem p 
eine Gerade beschreibt. Somit folgt: 
Die von einem Punkte q an <h'‘ gehenden Tangentenebenen als C genommen, liefern als Ort der Punkte ß 
auf eine Nöther’sche Curve c*\ So entsteht eine neue Schaar von oc;® c® auf der Fläche. 
Die einem festen Punkte von Ä in den singulären Ebenen eines Tangcntenkegels von <1>* entsprechenden 
Punkte erfüllen eine c®. 
|Die in Rede stehende Verwandtschaft* hat acht Doppelpunkte. Dies sind die ersten Transformirten für 
für weicheg' der zweite Transformirte ist (s. IV. 4.). Für den Fall coincidenter Ji und E' hat man demnach: 
Eine cubische Verwandschaft mit Fundamental-c® hat acht Doppelpunkte, welche associirte Punkte in einem 
Gebüsche von Flächen zweiter Ordnung sind.|-^ 
Verändert sich nun q', so ändert sich auch die cubische Verwandtsehaft kj,. Durch ein Punktc])aar ■]>'—q 
ist auch q', somit die Verwandtschaft selbst bestimmt. Wir sagen Vj, beschreibt ein Gebüsch. 
Die in einem Punkte p von E in den oo* singulären Collincationen entsprechenden Punkte erfüllen eine 
Fläche vierter Ordnung, 
Es gilt nun: Alle Verwandtschaften V^, des neuen Gebüsches führen dieselben Punktepaarc von und 
in einander über. 
j)) p'—Es sei ein fester Punkt g? in li und eine feste Ebene JJ' in E' gegeben. 
Die ihnen entsprechenden g/, FJ stehen in linearer Vetwandtschaft, /i’,,. Beim Variiren von EJ' beschreibt 
Ejy ein Gebüsch von Correlationen. Das conjugirtc Flächenpaar ist und Jß,. 
Man sieht, dass das a. E. von a) aufgetretene Gebüsch Vp zu dem Gehüsch Ep in der dualen Bezieliung 
derjenigen steht, welche das in 5. bemerkte Gebüsch cubischer Verwandtschaften zu dem ursprünglichen 
Gebüsch von Collineationen hat.* 
[Sind E, E' coincident, so hat jede Corrclation Vp eine Incidenzfläche zweiter Ordnung. Diese ist der Ort 
der Punkte p', welche jn" auf die Ebene E bringen. S. N. 4.| 
c) p'—q'. Sind zwei Punkte p, q in E fest, so stehen die ihnen in den Collineationen des Gebüsches 
entsprechenden p/, q' in Collineation. Dabei entspricht die Fläche E],, von der in a, gesprochen wurde, Punkt 
für Punkt der Fläche E'p. 
Ändert sich nun q in R, so nimmt die Collineation Jfj, alle Lagen in einem Gebüsche an. Das conjugirte 
Flächeupaar des Gebüsches Kp besteht aus Vp und d)*, wobei jede singuläre Ebene von »D* dem in ihr liegenden 
g/, wie in 5. die Ebene C dem Punkte ß zugewiesen ist. 
Interessant und wesentlich ist, dass in diesem Falle die conjugirten Flächen in solcher gegenseitiger 
Lage sind, dass jeder Punkt mit seiner Ebene C incident ist. 
Für das Gebüsch Kp sind die beiden Räume nothwendig coincident. Doppelpunkte einer solchen Collineation 
können nur die dem Strahle pq in den vier singulären Collineationen entsprechenden Punkte sein, deren 
singuläre Punkte die Schnittpunkte von pq mit F* sind. Variirt q auf diesem Strahle, so bleibt demnach das 
1 Dies lässt sich beim Gebüsch mit vier testen Pimktepaaren unter Zuliiltenahme der collinearen iStrahlbüudel a, « ; ■ . . 
beweisen. 
2 Ihr dual ist die Verwandscliaft zwischen E —7'” bei zwei festen Ebenen E', E. 
s Cf. meine Ableitung in C. R. 17. Mai 1880. 
Es sind dies die ersten Spuren der linearen Systeme von Verwandtschaften höherer Ordnungen. 
