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Über die allgemeinaten linearen Systeme linearer Transformationen etc. 
Doppelponktsquadrupel fest und es gibt in dem Gebüsche von K, übeiluuipt nur oo^ Doppelpunktsquadrupel. 
Jedes bestimmt ein Büschel von Kp und ihr Ort ist die 1 lache ip. 
Ich werde noch weiterhin von dem Gebüsche Kp einen wichtigen Gebrauch machen. 
Sind in li ein fester l’unkt^p und eine feste Ebene E gegeben, so stehen jn', E' in cubischer 
Verwandtschaft Ep. In den singulären Collineationen, deren singuläre Bunkte in der Schnittcurve von E und F, 
liegen, entspricht dem|j ein Punkt der Ei ein Ebenenbüschel. Somit. 
Die einem Punkte p in den singulären Collineationen, deren singuläre Punkte in E liegen, ent¬ 
sprechenden^' erfüllen eine Nöther’sche c«. Sie ist die Fundamentalcurve von Ep im Raume 
Ferner: Es gibt oo' Büschel des ursprünglichen Gebüsches, welche ein ganzes Tripel ihres j3-Quadriipels 
in E haben. In jedem dieser Büschel entspricht der E eine feste Ebene, dem p eine Gerade Yonp'. Smnit: Die 
Ebene /f ist Ebene von oo‘ /3-Qiiadrupeln, die oo‘ ihr in diesen Büscheln entsprechenden Ebenen ß erfüllen eine 
Developpable c',.. 
Ändert sich nun E, so beschreibt Ep ein Gebüsch dualer, cubischer Verwandtschaften, welche sarnrntlich 
die Punkte von Fp in die mit ihnen incidcnten ß von d>'‘ überführen. 
Ändert sich p bei fester E, so erhält man wieder ein Gebüsch dualer, cubischer Verwandtschaften. Dieses 
Gebüsch besitzt nämlich wie ein Gebüsch von linearen Transformationen im eigentlichen Sinne des Wortes ein 
conjugirtes Flächenpaar. Jede Ep bringt eine Ebene ß von d>^ aus dem Raume E' in einen Punkt derselben 
Ebene ß des Raumes Die Flächen sind also hier Ebene für Ebene identisch, d) . 
ß) p_q. Nach u) erfüllen die den Ebenen C durch den festen Punkt jZ entsprechenden (3 auf E; eine c\ 
So entstehen oo'-Collineationsbüschel, in deren jedem dem r;' eine Raiimcurve dritter Ordnung entspricht. 
Einem beliebigen Punkte 5 von E'entsprechen in diesen Büscheln die Geraden einer Regelfläche achter Ordnung 
(nach a) und diese setzt sich ntidip'—q (c) in eine Fläche 24. Ordnung um,/^^. 
Die den Ebenen ß durch q' entsprecheiiden ß auf F^ erfüllen eine Ciirve vierzehnter Ordnung (vergl. auch 
13). In diesen singulären Collineationen entsprechen dem p' nur die Punkte ß, dem q' hingegen die Geraden 
einer Regelfläche achter Ordnung. 
In den vier singulärenCallineationen, deren Ebene ß durch ^Z geht, entspricht ^/, sowie q' den Punkten 
je einer Geraden. In einem Netze von Colliiieationeii entspricht dem p' wie dem (f vermöge a) in 11 eine 
Fläche dritter Ordnung, woraus die (beiderseitige) Ordnung der Verwandtschaft 71 q als '/., (24-t-3) folgt. 
Im Ganzen: 
Die Verwandtschaft p—q ist von der neunten Ordnung. Sie hat in jedem Systeme 
eine Fundamentalcurve sechster eine vierzehnter Ordnung; der ersteren entspricht als 
Fiindamentalfläche eine der letzteren eine Regelfläche achter Ordnung. Eine 
Linearfläche neunter Ordnung eiitliält die F’ dreifach, die einfach. Eine Lnieaiciiivc 
neunter Ordnung trifft c“ in 24, c'* in acht Punkten. Ferner gibt es in jedem Systeme vier 
Fundamentalgerade ohne Fundamentalfläche, die allen Punkten der entsprechenden 
zugeordnet sind. Die Punkte von E)^ entsprechen sich selbst.' 
f) q—E'. Auch diese Verwandtschaft isLvon der neunten Ordnung. Sie hat als Fiindamentalcurvcn im 
Systeme q die Schnittlinie vierter Ordnung von E und If und die dem (J-Kegel in q entsprechende c® auf I\, 
sowie duale im Systeme E. Ferner gibt es vierzehn Gerade im Systeme q, welche den sämmtlichen Ebenen je 
einer von vierzehn Geraden des Systenies E entsprechen. Sie entstehen aus den vierzehn singulären Collinea- 
tionen, deren ß in E sind.* 
1 Die VerwaniUschaft E—F bei zwei festen Ebenen E. F' ist der obigen dual. 
3 Dual zu —E ist die Verwandseliaft q—E bei einem festen Punkte q' und einer testen Ebene E. 
a Zur Verwandtscliaft e) dual ist E' — F'. 
‘i Ähnliche oovariante Verwandtschaften sind bei dem Netze von ebenen Collineationen nach A. IV. eiuziiachalten. Diese 
Verwandtschaften können als Grundlage für die Charactcristikenrechnung dienen. 
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