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Über die alUjemeinden linearen Systeme linearer Transformationen etc. 
Es gibt eine einzige Curvc die in einem Punkte einen Doppelpunkt besitzt, Sie 
enthält auch die Schnittpunkte von mit der Geraden ß, 7 ,, und ist ihre einzige 
drcipunktige Secante, die im Doppelpunkte aufsteht. Sic ist der Ort der den zweimal 
gezählten ß^ zu ß-Quadrupeln ergänzenden Punktepaare. 
Die Curve ist folglich hyperelliptisch. Die Ebenen, welche die Tangenten ß, ß^ mit a verbinden und die 
Ebenen Jiß-^ß^ stehen in Projectivität. ln dieser gibt es zwei Co'incidenzen. Es darf aber nicht eintreten, dass 
die vier Punkte eines ß-Quadrupels in einer Ebene liegen; dies wird nur verhindert, wenn ß, ß^ mit der 
Geraden ß^ zusammenfällt. Hieraus folgt: 
Es gibt zwei ß-Quadrupel, welche ßj dreimal gezählt enthalten. Die jedesmaligen 
vierten Punkte sind die Schnittpunkte von ß, 7 , mit F^. 
Da aber vier allineirte Punkte von sich nach in vier Punkte eines Quadrupels zweiter Art über¬ 
tragen, drei zusammenfallende Punkte ß von F^ eine Inflcxionstangentc von F^, hervorrufen, so folgt das 
merkwürdige Resultat für Ej,, welolics ich gleich für iQ ausspreclie: 
Jeder Punkt von 7^'^ bildet mit den beiden Punkten, in denen seine Inflexionstangenten 
die iQ treffen, ein Tripel eines ß-Quadrupels. Der vierte Punkt ist der zu jenem als 7 
gehörige Punkt ß. Oder; 
Kommt in einem ß-Quadrupel ein Punkt ß und sein Punkt 7 vor, so sind die übrigen 
beiden ß-Punktc die Schnittpunkte von F^ mit den Inflexionstangenten in 7 . ' 
Es gibt demnach 00 ^ besondere Büschel in dem Collineationsgebüsch. Das entsprechende 71-Quadrupel 
in Ji’ muss die duale Beschaffenheit haben. Somit: 
Lässt man einen Punkt ß von F^ dem Berührungspunkte b der zugehörigen Ebene C 
mit dP entsprechen, so entsteht ein Büschel von Collineationen. Jede Collineation des¬ 
selben führt die Inflexionstangenten der F^ in ß in die Inflexionstangenten der ff)”* in b 
(mit der Tangentenebene G) über. 
12. Jeder ß auf kann auch als einfacher Punkt eines dreipunktigen Quadrupels angesehen werden 
und zwar unendlicli oft. Ihnen entsprechen auf Tangenten, welche durch einen festen Punkt ju' gehen. Die 
Berührungspunkte bilden eine Curve zwölfter Ordnung, die in p' einen Doppelpunkt hat. Da sich in einer 
cubischen Verwandtschaft diese Curve in eine 3. 12—3. 6 = 18. Ordnung auf F^ umsetzt, folgt: 
Die Punkte, welche doppelt gezählt mit ßj in einem ß-Quadrupel Vorkommen, erfüllen 
eine Curve 18. Ordnung mit einem Doppelpunkte in ßj. 
Da von einem Punktep' der Fj, achtzehn Inflexionstangenten an diese gehen, so folgt: 
Jeder Punkt ß ist Glied von achtzehn Quadrupeln, die aus ihm und einem dreifach 
gezählten Punkte bestehen. 
Bedenkt man, dass die Verbindungslinie zweier solcher Punkte zugleich eine Verbindungslinie ßy ist, und 
dass jeder Punkt einen ß und einen 7 besitzt, so folgt: 
Die Strahlcncongruenz, welche von den Verbindungslinien der ß,y gebildet wird, ist 
von der 20. Ordnung. 
Einer vierpunktigen Tangente von entspricht F^ ein ganz coi'ncidentes ß-Q.nadrupel. Die Berührungs- 
punkfe vierpunktiger Tangenten bilden eine Curve 80. Ordnung, die der vollständige Schnitt von 7Q mit einer 
Fläche 20. Ordnung ist.^ Eine c® wird von ihr in 120 Punkten getroffen und sie setzt sich daher nach F^ in 
eine Curve 3.80—6.20=120. Ordnung um: 
Die Punkte auf 7’^, welche vierfach gezählt, ß-Quadrupel ergeben, bilden eine Curve 
120. Ordnung, die jede c** der zweiten Schaar in 120 Punkten trifft. 
1 Dies zeigt doutlicli, dass hier die Cori-ospondeiizon innig mit der verwachsen sind, was hei der Cg noch nicht der 
Fall ist. 
- Clebsch Cr. Borch. J. Bd. 58, p, 93. 
