über die aUefemeinden linearen Systeme linearer Transformationen etc. 
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Jede F', sowie jede F,, berührt die d)* in einer Curve 48 . Ordnung nnd einer Devellop- 
pablen 48 . Classe. Sie osculirt die <I>* in zwanzig Punkten dieser Curve, welche dort 
Doppelpunkte hat. 
So oft nämlich die Collineation in einem der besonderen a. F. von 11 . gefundenen Büschel enthalten ist, 
so oft muss F' die <lP unter Identität der Inflexionstangenten berühren, d. h. osculiren. Die Collmeatiou führt d 
nach ])' über. Die dem p in (ien besonderen Büscheln entsprechenden Geraden spielen für Fp die Rolle der 
Congruenz ^7; es gehen demnach zwanzig solche Strahlen durch 7)'. Was die Berührungscurve angeht, so wiid 
dieselbe durch Übertragung jener Curve Fp gefunden, welche die enthält, von denen aus Verbindungslinien 
j 3 ‘f durch 7;' gesandt werden. 
Da eine Collineation in 00^ Büscheln enthalten ist, so folgt: 
Es gibt 00^ Tetraeder, welche der F' ein- und der umgeschrieben sind. 
Sind vier Punkte ß'ß" ß"'ß'"' mit p alliueirt, so schneiden sich die den ß" ß'" ß"" entsprechenden Ebenen C 
in dem Punkte 7/, welcher dem 7; in der singulären Collineation ß'B' entspricht. Daher (den 00^ Geraden durch 
p entsprechend): 
Es gibt Tetraeder, welche der Fp ein- und der < 1 >* umgeschrieben sind. 
IV. 
Das allgemeine Gebüsch linearer Transformationen zwischen zwei Punkträumen bei coincidenten 
Trägern. 
1 . Die Verwandtschaft zwischen 71' und den Doppelpunkten. 
Bewegt sich 7/ in einer Geraden, die Collineation in einem Büschel, so bewegen sich die Dopiiclpunkts- 
quadrupel in einer D,. (B. 1 . 3 . 6) durch das j 3 -Quadrupel. 
AVir betrachten nun ein Netz von Collineationen. Es sei t ein Doppelpunkt einer derselben; bewege sich f auf 
einer Geraden g und seien ß^ ß^ Grundpunkte eines im Netze enthaltenen Büschels. Wir ergänzen diese Büschel 
zu einem Netze, jedoch mit den vier festen Punktepaaren des Büschels, indem wir7>aueh in diesem Netze 
dieselben Punkte entsprechen lassen wie in dem gegebenen; die Doppelininkte erfüllen dann nach I. 3 . y eine 
Fläche vierter Ordnung L^. Ist einer ihrer Schnittpunkte mit g, so gibt cs eine Collineation, welche ßj- ■ - ß^ m 
/q .. überführt, 71 auf die Ebene 1 ! bringt und in einen Doppelpunkt hat, die aber vermöge der ersten 
Bedingungen gewiss dem Netze angehört. Ebenso hätte man duale Betrachtungen für die Doppelebenen 
anstellen können. 
Die Fläche der Doppelpunktsquadrupel aller in dem Netze enthaltenen Collineationen 
ist eine Fläche vierter Ordnung, die c“ enthält, während die Doppelehenen aller Colli- 
neationen eine Fläche vierter Classe umhüllen, die c\, enthält. Die beiden Flächen haben 
demnach solche Lage, dass sich der ersten 00* Tetraeder einschreiben lassen, die dei 
zweiten umgeschrieben sind. 
2 . Ist nun ein Netz im Gebüsche enthalten, so wird die Doppelpunktsfläche zunächst die //’ des Netzes 
enthalten und F; in einer Curve schneiden, welche allen gemeinsam sein muss, da sich zwei nur in 
einer 1 )^ schneiden dürfen. Jeder Punkt von /jp muss als Doppelpunkt 00’ Collineationen angehören, ein 
Büschel bestimmen und demnach in der ihm als ß entsprechenden 0 liegen. Aber ich will die Existenz der 
noch anders beweisen. 
Es sei P ein beliebiger Punkt. Ein durch P gehender Strahl s schneidet F^ in vier Punkten ß, denen an 
d»* vier Ebenen C entsprechen. Diese bestimmen auf s vier Schnittpunkte. Von P geht an <!>“ ein 1 angenten- 
kegel, dessen Ebenen C auf F^ die Punkte ß einer d’ entsprechen (III. 8. n) und diese wird von P aus duich 
einen Kegel sechsten Grades projicirt. Der Ort der Schnittpunkte sC ist eine Fläche zehnter Ordnung durch P . 
Ihre Schnittpunkte mit F^ müssen entweder selbst mit C incident sein, oder mit Ebenen C incident sein, die 
zu einer ihrer Projectionen von Paus a,ni' F^ gehören. Es ist nun vorauszusehen, dass aut die letzteren Punkto 
drei Theile, auf die anderen ein Idieil entfalten werden. Von dem Schnitte 40 . Ordnung sondert sich demnach 
die ?',p ab: 
