über die allgemeinsten linearen Systeme linearer Transformationen etc. 1 21 
Die Punkte p' und stehen in n^-1 deutiger Verwandtschaft, so dass den Ebenen von 
p ") Flächen eines Gebüsches entsprechen, die eine von zu p veränderliche Lage 
haben. ‘ 
5, Die dem Punkte p im Gebüsehe verbundenen Punkte sind die p', welche ihn nach n Transforma¬ 
tionen reproduciren. Wir können auch hier sagen: 
Die dem Punkte p im Gebüsche Wy verbundenen /*—1 Punkte sind ein Theil der dem 
p in verbundenen —1 Punkte, wenn n ein Vielfaches von f ist. 
Auf Grund dessen folgt dann: 
Es gibt in unserem Gebüsche nur 
'ff' 'fffi ' " nn----fr 
Collineationen, welche p erst nach n Transformationen reproduciren. 
Die p', welche mit ihrem p” und mit^ allineirt sind, ergeben sich, indem man für zwei Gerade durch 
ihre Ebenenbüschel mit deren entsprechenden Büscheln zur Erzeugung zweier Flächen dritter Ordnung 
benützt. Dieselben haben in p einen Doppelpunkt und schneiden sich ausser in einem durch p gehenden 
Kegelschnitte in einer Raumcurve siebenter Ordnung, daher: _ 
Der Ort der Punkte p', deren Gerade durch p gehen oder der Ort der p', deren 
Collineationen durch p gehende Doppelgeraden haben, ist eine Raumcurve siebenter 
Ordnung, die in p einen dreifachen Punkt besitzt, 5,. Die Tangenten desselben sind die 
in p selbst auftretenden Doppelgeraden. 
Diese Curve wird von p aus durch einen Kegel vierter Ordnung projicirt. Daher der folgende Satz, für 
den es hier keine speciellen Beweismethoden mehr gibt: 
Die Doppelgeraden sämmtlicher Collineationen unseres Gebüsches erfüllen einen 
Complex vierten Grades .2^^, welcher die r und 40 Strahlenbüschel enthält. Von jedem Punkte 
der als Doppelpunkt geht ein Kegel dritter Ordnung aus, daher die fremden, durch ihn zielenden Doppel¬ 
geraden eine Ebene bilden. 
6. Die Punkte p', welche mit ihren p^'^'> auf Geraden durch p liegen, erfüllen eine Curve w-i-1). 
Ordnung, die durch p ebenfalls dreimal gehen muss. Für die Punkte von sind alle Transformirten allineirt, 
foglich zerfällt jene Curve in die rf und eine Curve der Ordnung n'^-+-n —6. 
Dabei folgt auch; Eine Ebene durch p wird durch ihre transformirten Flächen in allen 
Systemen in denselben vier Punkten auf d, geschnitten. 
Die einer solchen Ebene entsprechende ‘F,, schneidet die d^ in weiteren 7(n—1) Punkten, hür jeden 
derselben soll p<'^^ auf der Ebene und auf der Geraden nach p liegen. Es müssen verbundene Punkte von p sein. 
Von den n^—\ verbundenen Punkten des p liegen 7 in —1) auf d^, liefern also periodische Doppelgeraden 
pp', nicht aber periodische Collineationen. 
Man erhält so den interessanten Satz : 
Die Doppelgeraden, welche eine periodische Projectivität mit dem Index n tragen, 
bilden eine Strahlencongruenz der Ordnung 
7(w- 
fi /./y 
f)- 
Für 11=2 gibt dies 7, für w = 3 aber 14. Hieraus; 
Die Doppelgeraden, welche eine Pfoj ectivität von einem bestimmten characteristi- 
schen Doppel Verhältnisse Dp tragen, erfüllen eine Strahlencongruenz der vierzehnten 
Ordnung. 
I In den folgenden Ableitungen 6 bis incl. 7 muss ich tlieilweise streng an das in der citirten Abhandlung Gegebene 
halten, und ändere nur das, was sich dort auf die festen Punktepaare bezieht und hier seine Bedeutung verliert. Diese Ableitung 
ist aber hier die einzig mögliche und für das Weitere unverlässlich. 
Denkschriften der mathem.-naturw. CI. XLVI. Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. 
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